2021年高考数学模拟试题（理科）
2021年高考数学模拟试题（理科）
一、选择题（每小题5分,共60分）
1. 已知集合
,
,则
( )
A.
B.
C.
D.
2. 若复数
满足
,则复数
在复平面内的点的轨迹为( )
A. 直线 B. 椭圆
C. 圆 D. 抛物线
3. 明朝早期,郑和七下西洋过程中,将中国古代天体测量方面所取得成就创造性地应用于航海,形成了一套先进航海技——“过洋牵星术”.简单地说,就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量天体在海面以上的高度来判断方位.他们采用的主要工具是牵星板,由
块正方形木板组成,最小的一块边长约
厘米(也称一指),木板的长度从小到大依次递增,最大的边长约
厘米(也称十二指).观测时,将木板立起,一手拿着木板,手臂伸直,眼睛到木板的距离大约为
厘米,使牵星板与海平面垂直,让板的下缘与海平面重合,上边缘对着所观测的星辰,依高低不同替换调整不同木板,木板上边缘与被测的星体重合时所用的是几指板,观测的星辰离海平面的高度就是几指,然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示,若在一次观测中,所用的牵星板为六指板,则角
大约为( )
A.
B.
C.
D.
4. 记
为等差数列
的前
项和,已知
,则数列
的公差为( )
A.
B.
C.
D.
5. 函数
的图像大致为( )
A.
B.
C.
D.
6. 已知
,则
的值是( )
A.
B.
C.
D.
7.
的展开式中
的系数为( )
A.
B.
C.
D.
8. 在新冠疫情的持续影响下,全国各地电影院等密闭式文娱场所连续停业近半年,电影行业面临巨大损失.现将
年至
年上半年的票房走势统计如下图所示,则下列说法正确的是( )
A.
年以来,每年上半年的票房收入逐年增加
B.
年以来,每年上半年的票房收入与年份呈正相关
C.
年上半年的票房收入同比增速最大
D.
年上半年的票房收入同比增速最小
9. 已知正方体
的棱长为
,以
为球心,
为半径的球面与平面
的交线长为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知曲线
及一定点
,设曲线上一点为
,则
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
11. 设
,
,
,则( )
A.
B.
C.
D.
12. 已知定义在
上的函数
为奇函数,其导函数为
,且对任意实数
都有
,则不等式
的解集为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（每小题5分,共20分）
13. 函数
的图像在点
处的切线方程为__________.
14. 已知点
是边长为
的菱形
内的一点,且
,则
的取值范围是__________.
15. 在新冠肺炎疫情期间,为有效防控疫情,某小区党员志愿者踊跃报名参加轮流值班工作.该小区共
个大门可供出入,每天有
名志愿者负责值班,已知
号门有车辆出入,需
人值班,其余
个大门各需
人值班,则共有__________种值班排法.
16. 已知双曲线
的离心率为
,与椭圆
有相同的焦点.若
是双曲线上的动点,过点
作两条渐近线的垂线,垂足分别为
,
,则
的最小值为__________.
三、解答题（每小题12分,共60分）
17. 已知数列
的前
项和为
,首项为
,且
. (1)求数列
的通项公式; (2)若
,令
,求
的最小值.
18. 随着社会经济的发展,人们的生活水平不断提高,越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段.下面随机抽取了
名把黄金作为理财产品的投资人,他们的年龄情况统计如图所示:
(1)现按照分层抽样的方法从年龄在
和
的投资人中随机抽取了
人,再从这
人中随机抽取
人进行投资调查,求恰有
人年龄在
的概率; (2)为了进一步了解该
名投资人投资黄金的具体额度情况,按照分层抽样的方法从年龄在
和
的投资人中随机抽取了
人,再从这
人中随机抽取
人进行调查,
表示这
人中年龄在
的人数,求
的分布列及数学期望.
19. 如图,
平面
,四边形
为直角梯形,
,
,
. (1)证明:
; (2)若
,问在线段
上是否存在一点
,使得二面角
的大小为
,若存在,求出
的长度;若不存在,请说明理由.
20. 已知椭圆
的右焦点为
,过点
作
轴的垂线交椭圆
于
、
两点,且
,坐标原点
到直线
的距离为
. (1)求椭圆
的方程; (2)过椭圆
的上顶点作斜率分别为
,
的两条直线,分别交椭圆于点
,
,且
,证明:直线
过定点.
21. 已知函数
,
, (1)当
时,求曲线
在点
处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积; (2)若对于任意的实数
恒有
,求实数
的最小值.
四、选做题（每小题10分,共20分）
22A. 在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,以
轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,已知直线
与曲线
交于不同的两点
,
. (1)求直线
的普通方程和曲线
的直角坐标方程; (2)求
的值.
22B. 设函数
, (1)解不等式
; (2)若
的最小值是
,且
,求
的最小值.