图像与分形维数
一、分形和维数
0维：点
一维空间：线段，有长度，没有宽度；
二维空间：平行四边形，有周长、面积；
三维空间：球，表面积、体积；
曲线是一维，那么我们可以构造图一左上的等边三角形，然后将其每一遍都做三等分，再次构造三角形，如右上和左下所示，直至最后形如右下角的图。称为Koch曲线
图一Koch曲线 图二 Koch曲线
我们可以看到，最终的图是由规则的线段构造得到，所以它的维数应该是1，但是它又能够“几乎”充满整个空间，所以维数应该接近2。同样的例子如图二所示。直观上讲，他们的维数应该在1-2之间。实际上维度为1.2618……。
上面两图所说的就是传说中的分形（fractal）。我们来看看它的定义。
最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。（曼德布罗特在1986年提出的定义是：分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。原文是：A fractal is a shape made of parts similarto the whole in some way.)也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
关于分形的维数，豪斯多夫维数给出了易于理解的解释
一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。
一般说来，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a^D=b
D=logb/loga
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
计算分形维数的公式是
比如Koch曲线，每次分为1/3，每次变换使长度增加了1/3，即总长度为原来的4/3。则维数为log4/log3=1.2618。
下面我们来看一个三维的情况
门杰（Menger）海绵（也称谢尔宾斯基海绵）
图三 谢尔宾斯基海绵
构造：取一立方体，第一步把立方体27等分后，舍去体心的一个小立方体和六个面面心的小立方体，保留20个小立方体。第二步再对20个小立方体作同样处理，此时保留下来的小立方体的数目为20*20=400个。如此操作，直至无穷。于是在极限情况下其体积趋于零，而表面积趋于无穷大，所以实际上得到一个面集。
从表面上看，海绵立方块是:一个立方体，是三维的，但它是以某一构造为基础而规则形成的许多孔洞的高度无序结构。在一定压力下它能压实在一个平面上，这时就是2维的。这说明表观看上去充实的立方体实际上是部分充实的3维结构，其真实维数大于2.0而小于3.0。所以可以说经典几何的整数维数只能反映物体的表观现象，而分形维数能刻画物体的内在特性。用基于测度论的豪斯多夫维数表示为(ln 20) / (ln 3)（大约2.726833）。
再来看一个类似2维的例子
图四 谢尔宾斯基地毯
1915~1916年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)将三分康托尔集的构造思想推广到二维平面，构造出谢尔宾斯基“垫片”：
设E0是边长为1的等边三角形区域，将它均分成四个小等边三角形，去掉中间一个得E1，对E1的每个小等边三角形进行相同的操作得E2，……，这样的操作不断继续下去直到无穷，最终所得的极限图形F称为谢尔宾斯基“垫片”
图五 谢尔宾斯基垫片
谢氏垫片（地毯）的极限图形的面积趋于零，而小图形的数目趋于无穷，作为小图形的边的线段数目趋于无穷，实际上是一个线集。图形具有严格的自相似性和无标度性。其维数为log8/log3=1.89。
二、图像的分形维数
将图像作为三维空间的一个曲面，然后进行分形维数计算，从前面的例子不难看出，其维数应该在2-3之间。一般计算得到的维数为2.2-2.6之间
最后来看mandelbrot大师的杰作吧
图六 mandelbrot分形
写给中学生的科普文章在这里http://www.xgdfz.com/Fractal/index.htm，本贴也从中copy了好几段