探讨：“高阶求导”的直观几何意义

来源：今日头条——电子通信和数学领域

高阶求导在资料中很常见，最明显的就是泰勒级数，前面有关泰勒级数的文章已经说明了一阶求导，二阶求导，三阶求导的含义，但对它的直观几何意义本篇将进一步说明：

首先来看一个三角函数的曲线

一阶求导：大家都知道是在表示每一点的斜率。

二阶求导：是在表示斜率的变化率，如图棕色部分斜率不断增大，所以二阶导数肯定为正，曲线是向上凹的

如图红色部分斜率不断减小，所以二阶导数肯定为负，曲线是向上凸的。

例如下面两个图形，一个图形很陡，一个图形比较平缓，但它们的二阶导数肯定都是正数。

二阶导数为正，但斜率的变化率很大

二阶导数为正，但斜率的变化率较小

我们如何来理解这个二阶导数本质原理呢？

图中两个微小的变量dx，它们的增量之差就是d（df）。 你可以想下，如果f（x）是一次函数，d（df）肯定是0。因为df1=df2.

d（df）就是斜率的变换率乘以（dx）^2

二阶导数就是变化率的变化率比上（dx）^2

如图蓝色部分，斜率不断减小，说明汽车速度不断减小，所以二阶导数（加速度）为负。

同理另一部分，斜率不断增加，说明汽车速度在不断增加，所以二阶导数（加速度）为正。

位移的三阶导数我们取名为急动度，如果加速度变化率不为0，说明汽车在不断的加速前进。

以上就是对高阶导数的直观描述，高阶导数最大的应用就是泰勒级数。