数学上有没有不可被证明的命题？

数学中存在不可判定的命题（注：“命题”一词，原本指能判断的陈述句，但鉴于该问题的本意，我继续使用“命题”一词，至于语法错误大家保留意见吧，这不影响我们对问题的讨论，如果你有更好的词来形容，可以给我们留言呢😄）。而且我们还能证明，这个命题“不能证明也不能证伪”。

其中，最出名的，当属欧几里得的第五公设，也叫平行公设！

欧式几何的第五公设太出名了，但数学家对这个公设起怀疑态度，因为这个公设和另外四个有着不同，最初的数学家猜测，我们能用前面四个公设推导出第五公设，但这个尝试历经一千多年也没有解决，最终在19世纪，黎曼创立了黎曼几何，人们才明白第五公设在欧氏几何内是不可判定的。

另外，在1900年，大数学家希尔伯特提出的二十三个数学难题中，第一个叫做“连续统假设”，这个问题后来也被证明是不可判定的，既不能证明也不能证伪。

连续统假设是康托尔超穷理论中，关于超穷数ℵ₀和ℵ₁ 之间还有没有的阿列夫数的问题？

这样的数学命题还有比如：罗素悖论引发的集合论公理问题等等

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要理解为什么数学命题不能证明，也不能证伪，我们需要去了解一个伟大的定理——哥德尔不完备性定理。

哥德尔不完备性定理：任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，那么它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。

比如第五公设，其内容是平行线不相交，我们不能证明，是因为该定理的反命题：平行线相交！也是成立的，在黎曼几何中成立。

而黎曼几何是欧氏几何的推广，欧氏几何只是黎曼几何的特例！证明第五公设需要上升到黎曼几何，哥德尔不完备性定理说的是：第五公设不能再欧氏几何中得到证明！而且还说，每个数学系统，都存在不可判定的命题！

文章来源：悟空问答