令多位数学家着迷的费马大定理到底是什么？
如果问数学界近几十年最重要的成果是什么，那依我看，非费马大定理获证不可。在费马提出这个问题三百多年后的1994年，来自英国的数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）一锤定音，最终彻底解决了该问题。能见证这样的盛事，可谓我辈之幸。
业余数学之王—费马
费马(1601-1665)出生于法国西南的一个小镇，父亲是当地富裕的皮革商人。优越的家庭条件使得费马从小便接受了良好的教育，但和牛顿一样，少年时代的费马并未显露出有什么数学天赋。之后迫于父亲的要求，费马走上了仕途，当了一名政府文官，而且还成为了一位成功的律师。
在费马的时代，数学家不是什么“正经”职业，或者说不是专门的职业，绝大部分数学家都是业余的，他们同时也或多或少干着其他的工作，研究数学只是业余的爱好。而费马就是其中一个最为突出的业余数学狂热爱好者。从来没有记载指出费马到底受了当时哪些数学家的影响，但可以肯定的是，丢番图的《算术》一书必定对费马的数学研究产生了深刻影响。
1637年左右，在研究《算术》第二卷的时候，费马被毕达哥拉斯方程(我国俗称的勾股方程:x^2+y^2＝z^2)有无穷多个整数解这个现象所吸引，但雄心勃勃的费马决心搞点比古希腊人高明的东西出来，于是他把方程的幂提高到3，一番苦苦思索之后，费马并没有得到整数解，而他还不满足于此，继续思考如果幂次更高是否也无解呢？费马把他思考的结果写在了这本书靠近第八个问题的空白处:
“不可能将一个立方数写出两个立方数之和；或者将一个4次幂写出两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和”。
用数学语言描述出来就是:
方程x^n+y^n＝z^n当n≥3且为整数时无整数解。
费马还不满足于此，他还在自己的结论旁边加了一句:我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下！到底费马是真的有了证明还是恶作剧已经无从考证，但以现在数学家的眼光来看，费马吹牛的可能性更大。
由于费马与当时欧洲大陆的数学中心-巴黎老死不相往来，他的著作也不为人知，所谓的“费马大定理”也从未公开发表过。所幸，费马有一位好儿子，若不是因为费马儿子的努力，费马的发现恐怕将永远石沉大海。费马的长子，塞缪尔决心不让父亲的研究失去应有的价值，他花了5年时间来仔细整理父亲的各种笔记信件，最终将费马的各种著作结集出版。于是，一个困扰了整个人类三百多年的巨大难题便出现在了我们眼前。
希望还是绝望？
欧拉(1707-1783)是第一个在费马之后认真思考过这个问题的大数学家。费马本人利用“无穷递降法”曾给出了这个问题在n＝4时无解的证明，欧拉思考过后给出了n＝3时的证明。由于可以使用同样的方法，实际上这也自动证明了n为所有3或4点倍数时的证明。欧拉也指出，由于所有整数都可以表示成一些素数的乘积，所以只需要证明n为素数的情形即可。一时间数学界为之振奋，似乎问题的解决已经指日可待。然而直至欧拉逝世，对这个问题的解决也毫无进展。一时间，数学家对费马大定理的热情又沉寂了下来。
到19世纪初，费马大定理毫无悬念地已经成为了数论中最出名的问题。而再次使得这个问题活跃起来的确实著名的“索菲·热尔曼”(1776-1831）。热尔曼出生于动乱时期法国的一个商人家庭，阿基米德的故事让她对数学产生了浓厚的兴趣，于是自学起了微积分和数论。越学越沉迷，不就之后她便不分昼夜全身心投入到了数学之中。
1794年，巴黎综合工科大学拔地而起。热尔曼为实现自己的数学理想找到了一个合适的地方，然而学校却不招收女学生。然而她却毫无退缩之意，竟然冒充一位已经逃学的名叫“勒布朗”的男学生然后偷偷摸摸地在学校学习。不久之后，她在习题中所表现出来的卓越才华已经和之前真正的勒布朗槽糕透顶的数学能力一样出名。作为课程的老师，拉格朗日(1736-1813)早已按捺不住心中的兴奋和激动，亲自找到了这位“勒布朗先生”。得知了热尔曼的真实身份，拉格朗日更加激动，从此之后非常热情地指导起了这位得意门生。
对数学学习越来越有信心的热尔曼逐渐把注意力转移到了数论上，精力十分旺盛的她还找到了高斯(1777-1855)进行讨论。对于费马大定理的解决，热尔曼提出了新的策略:一次就验证一类数的情形，也就那些使得(2p＋1)也为素数的素数p。她向高斯展示了自己的“大概”计算，但并没有证明，但这种想法却极大地激发了数学家门的灵感，数学界对费马大定理又重新燃起了激情。
1825年，狄利克雷(1805-1859)和勒让德(1752-1833)在热尔曼工作的基础上，得到了n为5时的证明。14之后，法国数学家拉梅(1795-1870)在一番改进之后，又证明了n为7的情形。当然，这些工作都是在热尔曼的基础上完成的。在那个女性并不受科学界待见的年代，热尔曼凭借顽强的毅力和惊人的才华让我们看到了女性也可以在科学探索上占有一席之地，十分令人赞叹和尊敬！
不久后，法国科学院以金质奖章和3000法郎悬赏费马大定理的证明。拉梅和柯西(1789-1857)在此期间明争暗斗，相继发表了自己的证明，然而均含糊不清，但众人又难以说出有什么问题。众人还意犹未尽之后的一个月后，刘维尔(1809-1882)突然宣读了德国数学家库默尔(1810-1893)的来信，可谓一石激起千层浪。
拿破仑政府的入侵给年幼的库默尔造成了极大的心理创伤，大学毕业后的他决心研究军事科学，不再让自己的祖国再遭受磨难。但同时，库默尔也积极地研究自己热爱的数学。
库默尔虽远在德国，但对法国科学院最近有关费马大定理的争论打听得一清二楚，也仔细读了拉梅和柯西的证明。最为当时最卓越的数论学家，他马上就看出了问题所在。拉梅和柯西二人的证明都依赖于算术基本定理:自然数都可以表示为一些素数的乘积，如果不计次序，这样的分解还是唯一的。分解的唯一性正是二人证明的关键。然而证明并不完全是限制在实数域内进行的，因此唯一性便也不再成立，例如12＝(1+√-11)(1-√-11)＝(2+√-10)(2-√-10)。库默尔的来信一下子使众人泄了气，希望再次成了绝望。库默尔不仅打击了当时的数学家，也使得后来者望而却步，之后长达两个世纪之内，费马大定理被尘封了起来。
曙光:谷山-志村猜想
战后的日本满目疮痍，但有两位年轻人却仍执着地沉迷于数学之中，他们就是志村五郎(1930-)和谷山丰(1927-1958)。1954年，两人因共同探讨一篇论文而结识，谁也没想到，当时名不见经传的二人将会在费马大定理上留下浓墨重彩的一笔。
模形式是数学中非常复杂而深刻的内容，简单来说，它研究的是在特定的变换之下保持某些性质不变的解析函数。1955年，一场国际学术研讨会在东京举办，会上，志村五郎和谷山丰提出了猜想:椭圆方程的E-序列对应于一个特定的模形式的M-序列并完全相等，也就是说，每一个椭圆非常都对应一个模形式。如果猜想成立，那看似毫无关系的两个东西都产生了深刻的联系。然而当时的数学界却似乎没有意识到它的重要性。
而顽强的二人决意继续将研究进行下去。1957年，志村应邀前往普林斯顿进行为期两年的客座教授之旅，并打算回来之后继续与谷山合作研究。然而噩耗突至:谷山在1958年11月17日自杀身亡，随他前去的还有他的未婚妻。由于事发突然，没有人知道期间的具体真实原因，留下的只有无尽的遗憾和惋惜。
直到当时的领袖级数学家韦依肯定这个猜想之后，谷山-志村猜想才进入主流数学家的视野中。
转机和突破出现在1984年。一场在德国举办的研讨会上，Frey提出论断:如果谷山-志村猜想成立，那么费马大定理就成立！但他本人的证明却并不完整。一石激起千层浪，在场的听众全都发了疯一样的冲向打印室，迫不及待地要获得一份Frey的报告，好回去之后仔细探究以便能弥补他的不足。
差不多两年之后，来自加州伯克利的里贝特已经完成了证明，但他自己却还没意识到。在梅修尔的提醒之下，他才意识到自己已经完成了证明！然而费马大定理的证明似乎还遥遥无期，因为谷山-志村猜想还横亘在数学家面前。
“我想我就在这里结束”—怀尔斯
怀尔斯1953年出生于英国剑桥，父亲是一名工程学教授。10岁的时候，他偶然在一本书中了解到了费马大定理的奥妙，并悄然在心中埋下了探索的种子。1974年本科毕业于牛津大学后，来到剑桥大学开始他的研究生学习，在导师的指导下进行椭圆方程和曲线研究，博士毕业后来到普林斯顿工作。
1986年听闻里贝特证明了Frey的猜想以后，改变怀尔斯一生的时刻到来了，实现他儿时梦想的机会来了，他已下定决心，所必须做的一切就是要证明谷山-志村猜想。但包括他导师在内的众多数学家都相信这将无功而返，但怀尔斯却坚持去追求自己的梦想。
怀尔斯抛弃了一切和证明费马大定理无直接关系的事情，就这样将自己关在普林斯顿的阁楼中，全身心投入了探索之中，除了他的妻子之外，没有人知道他的这个秘密。
1988年，日本数学家宫冈洋一宣称已经发现了费马大定理的解法，这对怀尔斯来说是个不小的打击。几经周折，这个证明及其改进被发现都是错误的，怀尔斯终于松了一口气。
经过三年的艰苦探索，怀尔斯已经证明:每个椭圆方程拆解成无穷多项后的第一项必定是某个模形式的第一项。对于高高在上的谷山-志村猜想来说，这已经是迈出的一大步了。接下来，他开始研究分析椭圆方程的岩泽理论。然而到了1991年，他觉得自己对这种方法的改进失败了。
隐居五年之后，他来到波士顿参加一个椭圆方程的会议。这时他原来的导师柯茨告诉他，一个名叫弗莱切的学生正在写一篇分析椭圆方程的精彩文章，用的是新进由科利瓦金提出的方法。怀尔斯突然意识到，这正是自己所需的东西！回到普林斯顿之后，怀尔斯开始了改进这种方法的艰巨任务，但似乎已经胜利在望。
1993年，怀尔斯再也按捺不住自己心中的秘密，向同事凯兹透露了自己心中压抑已久的秘密。之后他便再次投入了研究之中。5月的一天，全神贯注的怀尔斯甚至忘记了吃午饭，但当他放下手中的笔时，激动人心的时刻到来了，怀尔斯已确信自己证明了谷山-志村猜想，从而证明了费马大定理！
怀尔斯决心在剑桥举办的会议上报告他的成果。数学界关于他要宣读大成果的传闻不胫而走，数学家门蜂拥而至，挤满了报告厅，剩下的人仍不放弃，挤在走廊上也要听。由于内容太多，怀尔斯做了三次报告才讲完。他宣布自己完成了证明时，他说:“我想我就在这里结束”，迎接这一历史性时刻的是经久不绝而雷鸣般的掌声。
插曲和终章
怀尔斯的世纪证明很快交由专家组验证，但晴天霹雳也随之而来，怀尔斯的第一位听众凯兹发现了一个严重的错误，但此时全世界早已铺天盖地地报道怀尔斯已经证明了费马大定理，这给他带来了巨大的压力。专家组决心给他保守秘密，留出改正的时间。然而证明中的错误被发现越来越多，秘密也守不住了，怀尔斯很可能会上演几年之前宫冈的悲剧。但舆论的压力不能使怀尔斯屈服，他断然拒绝公开自己的手稿，这可是七年日复一日思考的成果！
怀尔斯找来了自己的学生泰勒，决定要殊死一搏，改正证明中的错误。又经过艰苦卓绝的工作，他们发现之前怀尔斯已经放弃的岩泽理论恰恰可以弥补证明中的错误！1994年9月19日，8年来所有的辛苦在这一天得到了它应有的回报。他们将成果写成了两篇总共130页的论文，并且经受住了严苛的验证，于1995年5月发表在数学四大期刊之一的《数学年刊》上。怀尔斯也因此荣获菲尔兹特别奖(由于年龄已超40，遗憾未或菲尔兹将)和沃尔夫以及阿贝尔奖。
自此，长达三个多世纪的对费马大定理的探索画上了圆满的句号。这份无上荣耀属于每一个为此付出过努力的数学家！
本文转自公众号 数学maths。