八上第17讲 《直角坐标系》典题大集合(上)

一、基本概念

例1:

已知P点坐标为(2a+1,a-3),

①点P在x轴上,则a=___;

②点P在y轴上,则a=___;

③点P在第三象限内,则a的取值范围是___;

④点P在第四象限内,则a的取值范围是___.

⑤点P在二四象限的角平分线上,则a=___;

⑥点P到x轴,y轴的距离相等,则a=___;

分析:

①点P在x轴上,则其纵坐标是0;

②点P在y轴上,则其横坐标是0;

③点P在第三象限内,则横坐标为负,纵坐标为负;

④点P在第四象限内,则横坐标为正,纵坐标为负;

⑤点P在二四象限的角平分线上,则横纵坐标互为相反数;

⑥点P到x轴,y轴的距离相等,则其纵坐标的绝对值等于横坐标的绝对值.

接下来只需要讨论两种情况,横纵坐标相等或横纵坐标互为相反数.

解答:

例2:

已知点P(-2,3),

①点P到x轴的距离为_____;

②点P到y轴的距离为_____;

③点P到原点的距离为_____;

④点P关于x轴的对称点的坐标为_____;

⑤点P关于y轴的对称点的坐标为_____;

⑥点P关于原点对称的点的坐标为_____.

分析:

①点P到x轴的距离是它纵坐标的绝对值;

②点P到y轴的距离是它横坐标的绝对值;

③点P到原点的距离是它横纵坐标平方和的算术平方根;

④点P关于x轴的对称点的坐标,横坐标不变,纵坐标互为相反数;

⑤点P关于y轴的对称点的坐标,纵坐标不变,横坐标互为相反数;

⑥点P关于原点对称的点的坐标,横纵坐标都互为相反数.

解答:

例3:

已知点M(3,2)与点N(x,y)在同一条平行于x轴的直线上,且点N到y轴的距离为5,试求点N的坐标.

分析:

平行于x轴的直线上的点,纵坐标都相同,点N到y轴的距离为5,则N横坐标的绝对值为5,问题迎刃而解.

解答:

例4:

已知点A(3,2)与点B(x,3x+1)在同一条垂直于x轴的直线上,且点C是线段AB的中点,试写出点C的坐标.

分析:

点A与点B在垂直于x轴的直线上,则两点的连线平行于y轴,横坐标相同,可求出点B的坐标,点C的坐标可以直接利用中点坐标公式完成,其横坐标为点A、点B横坐标和的一半,纵坐标为点A、点B纵坐标和的一半.

解答:

二、平移 面积 周长

例1:

分析:

解答:

由题意得,

a=0+1=1,b=0+1=1,a+b=2.

例2:

分析:

解答:

例3:

在同一直角坐标系中分别描出点A(-3,0)、B(2,0)、C(1,3),再用线段将这三点首尾顺次连接起来,求△ABC的面积与周长.

分析:

建立平面直角坐标系将三个点描出来,利用距离公式,求得三边的长后即可计算周长,对于面积,由于本题中的AB在x轴上,不一定非要用割补法,可以用两点横坐标之差的绝对值来表示底,点C的纵坐标的绝对值表示高.

解答:

例4:

已知在平面直角坐标系中,A(0,1),B(2,0),C(4,3).

(1)求△ABC的面积.

(2)设点P在坐标轴上,且△ABP与△ABC的面积相等,求点P的坐标.

分析:

(1)显然,用割补法就可以求面积.

(2)首先,要找到所有符合题意的点P,我们不难发现,AB是两个三角形的公共边,因此可以作为底,则过点C作AB的平行线,与坐标轴有两个交点.此外,联想到中线有平分面积的作用,因此,可以将AB看作△APC的中线,倍长CB到点P,过点P再作AB的平行线,与坐标轴又有两个交点,共有4个交点.

方法详见笔者开篇之作:

第一讲   《格点作图,面积计算》 易错专题

对于x轴上的点P,

可以设坐标为(x,0),

对于y轴上的点,可以设坐标为(0,y),

用横坐标之差的绝对值,

或纵坐标之差的绝对值来表示线段长度!

解答:

三、翻折、对称

例1:

已知点A(a+2,4-b)与点B(2b+3,2a)关于y轴对称,则ab=______.

分析:

关于y轴对称,则两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等.建立关于a,b的方程组即可.

解答:

例2:

如图,在平面直角坐标系中,等边三角形OAB的边长为4,把△OAB沿AB所在的直线翻折,点O落在点C处,求点C的坐标.

分析:

显然,要求点C的坐标,要过点C作x轴的垂线段CD,CD长度即为它纵坐标的值,由于是等边三角形翻折,因此,有特殊角60度,可知∠OCA的度数,从而可求∠CAD度数,AD,CD均可求.

解答:

例3:

分析:

解答:

法1:

法2:

验证:

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