“边对角”的解题技巧（下）——求最值
【接上期】“边对角”的解题技巧（上）——求定值
在8月1日至5日的“数学行者”学习研讨中，常州特级教师于新华做了《边对角的解题技巧》讲座，上一讲主要是求定值的内容，今天这一讲主要为求最值．
例1：在求线段最值的题目中，2012年济南中考的第十三题，不得不说流传甚广，并逐渐成为一道研讨多年，变式层出不穷的网红题．这里，我们先直接给出图形在整个运动过程中的动态图．
解析：
显然点D的轨迹比较复杂，直接去求OD的最值不容易，能从其他方面入手吗？下面给出3种方法：
法2：（初三解法）
我们还应深入思考点E的轨迹，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，AB为定长＝2，则OE＝1，O为定点，则E点的轨迹在图中为四分之一圆弧，则问题转化为圆外有一点D，已知其到圆上一点E的距离确定，圆的半径也已确定，要求点D与圆心O距离的最大值．显然当O、E、D三点共线时，OD取到最大．
法3：（本质，定边对定角）
本题中，我们深入挖掘题目的本质，不难发现，AB为定值2，而△OAB中，AB的对角∠O始终为定值90°，根据上一讲“定弦定角必有圆”，可以构造△OAB的外接圆⊙E，E为AB中点，我们把AB固定，则点D固定，此时点O就变为动点，问题转化为求⊙E上一动点O到圆外一定点D距离的最大值．显然当动点与圆心，及圆外定点在同一直线上时，距离最大．
小结：
以上三种方法虽不尽相同，但都用到了特殊点，斜边AB的中点，可见当题目中出现直角三角形时，斜边中点的作用还是重要的！
解析：
这又是一道经典老题，结论众多．如果你想研究，可在读完本文后，在公众号主页回复关键词“45度”，即可获得．
回到本题，∠EAF＝45°，EF边在不断变化中，是“动边对定角”的问题，则先构造△EAF的外接圆⊙O，连接EO，FO，易知∠EOF＝90°，出现Rt△EOF，立刻联想斜边中点，如图4－1，取EF中点G，连接GC，OG．
反思：
对于变化万千的题目，如何抓住本质，是于特这个专题给我的启发．结合上下两篇文章，谈一点个人的看法．一般来说，初中阶段的题还是以定角为背景，我们可以一分为二来看．
若边不变，则“定边对定角”，如上一讲的所有例题和这一讲的第一个例题，三角形外接圆是不变的，在这不变中，我们可以求定值，如弦长，运动的轨迹长．也可以寻找其中变化的量，来求线段的最值．
若边在变化，则“动边对定角”，如本文的后三个例题，三角形外接圆处在变化中，我们要找其中的不变量或者变量之间的不等关系来建立不等式，从而求出最值．
于特在讲座开头用了一个很形象的例子来解释了线段最大值如何求，如何可使手臂在视觉上长度最长？当手掌，肘关节，肩关节三点一线的时候．那么到了具体题目中，找到“肘关节”就是其中的关键，而本文中的几例，无一例外运用到了直角三角形斜边的中点，我想，这也许就是许多题目 “秒杀”的“命门”吧！
【练习】