八下第9讲 菱形、正方形性质&判定重难点突破
一、菱形性质
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例1： 如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC和CD上，且△AEF是等边三角形，AE＝AB，则∠BAD的度数为______．  分析： 本题属于角度计算问题，熟练掌握菱形的性质是关键； 由四边形ABCD为菱形，△AEF为等边三角形，AB＝AE，可得AB＝AE＝AF＝AD，则∠B＝∠AEB，∠BAE＝∠FAD，可设∠B＝x，则∠BAD＝180°－x，∠BAE＝∠DAF＝180°－2x，再根据∠BAE＋∠EAF＋∠FAD＝∠BAD进而求得x，解答即可． 解答： ∵四边形ABCD为菱形，△AEF为等边三角形，AB＝AE， ∴AB＝AE＝AF＝AD， ∴∠B＝∠AEB＝∠AFD＝∠D． 设∠B＝x，则∠BAD＝180°－x， ∠BAE＝∠DAF＝180°－2x， 又∵∠BAE＋∠EAF＋∠FAD＝∠BAD， ∴180°－2x＋60°＋180°－2x＝180°－x， 解得x＝80°，则∠BAD＝180°－80°＝100°． |
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例2： 菱形ABCD对角线交于点O，已知其边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为______． 分析： 本题中，显然要利用菱形的对角线垂直，和对角线乘积的一半求面积，不妨设对角线的一半长为x，y，即设对角线长分别为2x，2y，从而根据勾股定理和面积列方程，求出x＋y的值，进而求出2x＋2y的值． 解答： |
二、菱形判定
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例1： 如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP，BQ，PQ． (1)求证：△APD≌△BQC； (2)若∠ABP＋∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形． 分析： (1)根据平行四边形对边相等可知，AD＝BC，又因为DP＝CQ，则证明∠ADP＝∠BCQ即可解决问题； (2)首先证明四边形ABQP是平行四边形，再证明AB＝AP即可解决问题； 解答： (2)∵CQ∥DB，且CQ＝DP， ∴四边形CQPD是平行四边形， ∴CD＝PQ，CD∥PQ， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴AB＝PQ，AB∥PQ， ∴四边形ABQP是平行四边形， ∵△ADP≌△BCQ， ∴∠APD＝∠BQC， ∵∠APD＋∠APB＝180°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP， ∴平行四边形ABQP是菱形． |
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例2： 如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F，AB＝3，BC＝9， (1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论，并求CE的最小值； (2)当CE最长时，用尺规作图，作出四边形CEGF的位置，并求此时线段CE、EF的长． 分析： (1)由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，可知GE＝CE，由平行加角平分，可证得△EFG是等腰三角形，GE＝GF，则可证CE＝GF，从而可证四边形BGEF为平行四边形，再证其为菱形．而要求CE的最小值，则转化为求CF的最小值； (2)要使CE取最大值，则CF取最大值，则点F要越靠近点A，GF与CE等长，则当点G与点A重合时，CE最大，此时，根据EF与CG互相垂直平分，作出CA的中垂线，即可作出四边形CEGF的位置．再设x，根据勾股定理建立方程即可解决． 解答： (1)证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠1＝∠2， 由翻折知，∠2＝∠3，∴∠1＝∠3， ∴GF＝GE，∴GE＝EC， ∴GF＝EC，又∵GF∥EC， ∴四边形CEGF为平行四边形， ∵GE＝GF，∴平行四边形CEGF为菱形； |
三、正方形性质和判定
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例1： 如图，已知正方形ABCD，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与DB相交于点F，则∠AFD的度数为________． 分析： 根据正方形及等边三角形的性质求得∠BFE的度数，再根据对顶角相等，求出∠CFD，根据对称性，即可求得∠AFD的度数． 解答： |
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例2： 正方形ABCD所在平面内有一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PDA都是等腰三角形，则具有这样特性的点有______个． 分析： 首先，正方形两条对角线的交点满足条件， 其次，考虑△PAB、△PCD为等腰三角形，则P在AB、CD的中垂线上， 再考虑△PBC、△PDA为等腰三角形，则分别以C、D为圆心，BC为半径作圆．交点与刚才所作的AB、CD的中垂线有两个，正方形形内一个，形外一个，即CD边两侧各有一个． 以此类推，AB边，BC边，AD边两侧也各有一个，则共有8个，加上对角线交点的一个，共有9个． 解答： |
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例3： 如图所示，正方形ABCD中，P为BC边上的一点，Q为CD边上一点，且PQ＝BP＋DQ，求∠PAQ的度数． 分析： 显然，这是一个半角模型的结论，因此，我们可以用八上的知识点解决．这里我们可以用旋转的方法来做，省去一次全等的过程，但要证明△ADQ旋转后的图形一边与BC共线． 解答： |
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例4： 如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC. (1)请判断：FG与CE的数量关系是______，位置关系是_______； (2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明； (3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断． 分析： (1)平行且相等； (2)可先证明△DCE≌△CBF，从而证明CF＝DE＝EG，再结合十字模型，证明CF∥EG，则四边形CEFG为平行四边形，问题得证； (3)成立． 解答： |