2021北京中考数学几综题（思路分析）

题目分析

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提示

第一问

BM=MD+BE

非常简单略

第二问

观察图很明显应证

NE=ND。

即N是ED中点。

根据题目条件我们可以有哪些思路呢？

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思路1：利用中位线

根据条件可知

M是BC中点，

想证N是ED中点，

很容易想到中位线，

但是图中没有

以MN为中位线的三角形，

所以需要我们添加辅助线

来构造想要的三角形。

如何构造？

再次思考目标：

想证N是ED中点，

因此构造的三角形

必须以ED为边。

同时，M也必须为中点。

因此我们需要构造与MD相等的边（如下图）

在BM上取一点F，使得MF=MD。

有了△EFD，下面我们只需证NM∥EF。

继续思考

题目给出的MH⊥AB，

肯定是帮助我们来证明平行的。

所以我们需要证明EF⊥AB。

这是容易的！

第一问知BM=MD+BE,

所以BE=BF.

再根据旋转+等腰△ABC

易知∠2=∠3，

再利用三线合一或全等

易知EF⊥AB。

这样我们就证明出

NM是△EFD的中位线，

N是ED中点。

注：这是思路分析过程，答题步骤同学们自己梳理哦！构造辅助线时也可以描述为：在BM上取一点F，使得BF=BE。

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思路2：三线合一（证垂线）

可知△AED是等腰△，

题目中又有很多直角，

因此我们可以试着证明

AN⊥ED。

既然要证垂直

我们先把题目中的直角都找到

目标：证明∠AND=90°。

观察标记的△，

这是我们常见用来导角的小模型。

∠2+∠4=90°，

∠5+∠4=90°，

可知∠2=∠5。

又因为∠EAD=∠BAC,

可知∠2=∠6，

所以∠5=∠6。

这样我们可知

A、N、M、D四点共圆。

可知∠NAM=∠NDM,

（同弧所对圆周角相等）

再根据8字导角模型

可知∠AND=∠AMD=90°。

注：证明∠NAM=∠NDM，也可用蝴蝶相似导角，参考等边模型系列44。

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思路3：利用角平分线找全等

过A点作AL⊥BE，交BE延长线与点L，

过D点作DQ∥BE，交HM延长线与点Q，

目标证明：△NEL≌△NDQ(利用AAS)

留给同学们自己思考啦！