黑洞形成的数学探索与非线性波动方程 | 硬核科普
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撰文 | 安歆亮（新加坡国立大学数学系助理教授）
责编 | 叶水送
一门学科的成熟过程往往充满艰辛与曲折。以宇宙、时空为研究对象的古典广义相对论，亦是如此，其发展历经几次的爆发与蛰伏。
2020年诺贝尔物理学奖，三位学者因在黑洞领域的贡献而获奖
经历了近十年的艰难探索，1915年11月25日A. Einstein终于在普鲁士科学院公开介绍了他的广义相对论理论，他的Einstein场方程也正式成型。用曲率张量的语言形式上表述Einstein场方程是简洁而优雅的；但在坐标系下，Einstein场方程却是一个极其复杂的、由10个2阶方程组成的非线性偏微分方程组。Einstein借助对测地线的研究和合理的近似，进一步得出了光线可以弯折的预言，并解释了水星进动。不久之后天文学家们对日食的观测确认了太阳的确可以弯折遥远的星光，Einstein从此声名鹊起。
在对称性假设下，尝试寻找Einstein场方程的精确解是1920年至1930年左右相对论研究的主要议题。1916年德国物理学家K. Schwarzchild找到了除Minkowski解（平直时空）之外的第一个精确解——Schwarzchild解。这是一个不依赖物质场的真空解。在当时，这个解描述了在规则星体之外的球对称静态时空。虽然现在看来找到Schwarzchild解的精确形式并不复杂，但在当时仍然意义非凡。
1922年，俄国物理学家A. Friedmann找到了另一个很有物理意义的精确解，即后来的Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker度规。这个解描述了一个正在膨胀或收缩的动态宇宙。
再之后，1939年J. R. Oppenheimer和H. Snyder找到了一个松散尘埃做为物质的Einstein场方程的球对称动态解。这期间，越来越多的精确解在各种对称性和物质场的假设下被发现；值得注意的是，这些精确解的发现往往都伴随着人们对时空及宇宙本质的再思考。
以Schwarzchild解为例，Schwarzchild时空中有一个Schwarzchld半径，一旦进入Schwarzchild半径之内，即使光子也无法再挣脱。在遥远的观察者看来，Schwarzchild半径之内的区域是没有任何亮光的，宛如一个黑洞。而这块黑色区域的中心是一个曲率（Kretschmann scalar）为无穷的奇点。但在当时黑洞解及奇点都是备受争议的概念，有人怀疑黑洞解的奇异性质和其中的奇点都是在高度对称性下出现的病态产物，如果不假设如此多的对称性，或许奇点就不会存在。人们对这个问题的解答要等到1960年代。
1960年至1975年左右是古典广义相对论的一个黄金时代。两位卓越的数学物理学家R. Penrose和S. Hawking即将登场。Penrose作为学生时的研究非常数学，他自己的第一篇研究文章是关于矩阵理论，他的这个结果后来被称为Moore-Penrose矩阵逆。Penrose读博士时的指导老师是W. V. D. Hodge和J. A. Todd, 他和M. Atiyah是博士同学。Penrose自己一直在研究旋量理论，在他发表一系列物理文章之前，在博士毕业后不久，他还和J. H. C. Whitehead及E. C. Zeeman一起发表过一篇研究如何把流形嵌入到欧式空间的数学文章，发表在《数学年刊》（Ann. Of Math.）。
这之后他的兴趣进入到广义相对论，在1960年至1965年间，他用共形映射把无穷远点变换到了有限空间并画出了以后被广泛运用的Penrose图；他提出了研究引力波的Newman-Penrose守恒量；并把旋量的方法引入到广义相对论。1965年Penrose在《物理评论快报》（Phys.Rev.Lett. ）上发表了题为“引力塌缩与时空奇点”的著名文章，这篇文章的数学证明细节在稍后的文章中被给出。基于广义相对论中光速不可超越的原则，Penrose革命性地引入了时空几何的研究方法来刻画因果结构：一个闭合2维曲面上的点，各自不超过光速运动，在下一个时刻仍会构成一个新的闭合2维曲面，如果新的2维曲面的面积总是单调减少，那么这个初始的闭合2维曲面就被Penrose定义为一个俘获面（trapped surface）；进而，运用Riemannian几何中Jacobi场与共轭点的性质，通过反证法，如下结论被证明：在合理物理条件满足的情况下，3+1维时空中如果存在一个闭合2维的俘获面, 那么时空的奇点就会不可避免地出现！从直观上看，这个过程显示为：闭合2维俘获面裹挟着时空中的一块区域，由于俘获面的面积随时间演化不断减少，而其中的物质无从挣脱，时空奇点的形成便无可避免。Penrose用数学证明了这样的物理直观。
Hawking比Penrose小11岁，1965年Hawking正在读博士，此时Penrose正在宣讲他关于引力塌缩的奇点理论。Hawking迅速跟上并把奇点理论推广到了宇宙学的范畴中，从而在数学上支持了G. Gamow及其学生的热大爆炸宇宙学模型，进一步预言了宇宙大爆炸（big bang）是我们宇宙的开端。1970年Hawking又与Penrose一起进一步放宽了奇点定理的物理假设。至此引力塌缩及宇宙学中的奇点理论被正式建立起来。
时空中存在一个2维俘获面是一个非常宽泛的条件，只要求时空中存在一块引力非常大的区域，而Penrose与Hawking的证明也没有依赖于任何对称性。所以奇点理论描述的是一个稳定的现象，因此科学界不得不予以重视。从此对奇点与宇宙大爆炸的研究也正式进入了科学探索的主流。
值得一提的是，在他们各自后续的科学研究中Penrose和Hawking又继续施展了他们的数学能力：几何中的Penrose不等式，从旋转黑洞提取能量的Penrose过程，后来被用于研究准晶的Penrose平铺，Penrose后来建立的扭量理论；以及Hawking对黑洞无毛定理的证明，对沿事件视界黑洞面积定理的证明， 无不说明了他们高超的数学才能。
奇点定理虽然普适且深刻，但仍然留有一个悬而未决的问题，即：奇点定理条件中要求存在的2维俘获面可否从无到有的在3+1维时空中形成。Oppenheimer和Snyder虽然构造了一个尘埃做为物质的动态解，但他们用了球对称假设，且尘埃本身的物理性质并不好也不够普适。而Schwarzschild解虽然是真空解，但它是静态的。由Birkhoff定理可知，一旦引入球对称条件去解Einstein真空方程，那么这个解一定是静态的Schwarzschild解或静态的平直空间解；而静态的Schwarzschild解并不是由时空演化造成的，它一直存在即使时间是负无穷。可否拿掉球对称假设，纯靠引力效应，通过求解Einstein真空方程而得到一个从无至有的俘获面？前面说到Einstein场方程是一个由10个偏微分方程形成的方程组，奇点定理的证明中只用了其中一个方程（Raychaudhuri方程）；而为了回答俘获面能否形成，人们不得不运用其他9个方程。在1960至1970年代，这是一个无法克服的数学困难。这一问题的解决需要再等近40年。
数学家D. Christodoulou
数学家S. Klainerman
在对Einstein场方程的数学研究方面，另外两位杰出的数学家D. Christodoulou与S. Klainerman将要登场。他们的研究与非线性波动方程的发展紧密相连。1951年出生的Christodoulou曾是一名少年天才。13岁的他是希腊同年龄组的摔跤冠军；14岁的夏天Christodoulou对数学和物理产生了浓厚的兴趣，一个夏天过后他的这个兴趣引起了希腊数学家们的注意，他们叫来著名物理学家J. A. Wheeler在巴黎Poincare研究所对Christodoulou进行了一场面试，翌年Christodoulou直接跳过高中和本科，来到普林斯顿大学物理系攻读博士学位。约4年后Christodoulou以19岁的年纪从普林斯顿物理系博士毕业。但强如Christodoulou，其博士毕业也并不是一帆风顺。
Wheeler最初建议给他的问题是一个公开问题，即直接去证明在没有对称性假设的情况下，2维俘获面可以在3+1维时空中从无到有地形成。这是一个严肃而极其困难的数学问题。在大初值且没有任何对称性的情况下，去解Einstein场方程这个超临界拟线性波动方程组，在当时研究这类问题的数学工具连雏形都没有。事实上，距离得出Wheeler所给的这一博士论文题目的解答，Christodoulou还要再等40年。
Christodoulou在博士期间也深入探索了黑洞的性质并发现了黑洞热力学的雏形，以此博士毕业。可惜的是，他并没有在物理上对这个问题继续深究下去，约一年后他的博士同学J. Bekenstein和Hawking系统性地建立了沿事件视界的黑洞热力学理论。Christodoulou自己说他更多的天赋可能在数学上，在欧洲辗转了快10年之后，他终于遇到了他的贵人——法国数学家Y. Choquet-Bruhat女士，在她的建议下，Christodoulou终于找到了最适合自己的学科——非线性偏微分方程。
与此同时，比Christodoulou大一岁的Klainerman也来到了数学的舞台。Klainerman曾就读于罗马尼亚精英中学，在纽约大学Courant所读博士时他接受了两位偏微分方程大师F. John和L. Nirenberg的指导。1970年代，椭圆方程的理论相对更为成熟，但波动方程的发展还几乎没有开始；Nirenberg是椭圆方程及微分几何的大家，而F. John是研究波动方程的先驱，几乎孑然一人在孤独地做着研究。Klainerman选择了更少有人走的路，在博士论文中用Moser迭代去开始建立非线性波动方程的长时间适定性。又经过了5年的努力，Klainerman革新了拟线性波动方程的研究框架：借助时空的对称性，Klainerman建立了非常普适的向量场方法；证明了刻画波动方程衰减的Klainerman-Sobolev不等式；系统的研究了零条件非线性结构（null structure）对波动方程长时间行为的影响。波动方程的发展也正式成为了纯数学研究的一个热点。
此时，几乎同龄的Christodoulou也走到了同一领域，Christodoulou用共形映射的方法也很好地研究了波动方程非线性项的零结构（null structure），并开始了一系列在球对称条件下的对引力塌缩的纯数学研究。1980年代末Christodoulou和Klainerman在普林斯顿大学数学系会聚，他们立下了一个目标：用刚刚发展的非线性波动方程技术去研究波动方程中最具挑战性的Einstein场方程。他们想去证明Minkowski解（平直时空）在偏微分方程意义下是渐进稳定的。
这一研究持续了5年，1993年时一本514页的数学专著“Minkowski时空的非线性稳定性”出版发行。在此书中，Christodoulou与Klainerman引入了完全崭新的方法去研究Einstein方程的动态演化。在波动规范下，Einstein方程由10个非线性波动方程组成。但Christodoulou与Klainerman并没有用这10个方程，他们定义了12个描述时空不同几何信息的几何量，这些几何量的长时间行为都各自不同。在此基础上，他们找到了这12个几何量之间的26个一阶方程，这些几何量与一阶方程才是他们的研究对象。直观上看，在一个弯曲时空的演化过程当中，不同的曲率分量、不同的联络系数会反映出时空的不同几何信息，而这些几何信息才是求解Einstein场方程的关键。应用了当时最先进的向量场方法，经过了500多页的证明，他们终于得到了想要的结论。
在这本专著出来之前，一篇扎实的波动方程论文往往在50页左右，但Christodoulou-Klainerman这个证明硬生生地把一篇论文的写作和计算量提高了一个数量级。20年过去，这期间出现了至少4种对Minkowski时空非线性稳定性的不同证明，但Christodoulou与Klainerman的证明依然是包含几何信息最多的证明。这本专著也为之后的对Einstein场方程的数学研究提供了坚实的理论框架。基于他们的证明，Christodoulou稍后还提出了引力波的非线性记忆效应。
即便Christodoulou与Klainerman的数学证明取得了很大的成功，但“在没有对称性假设的情况下，俘获面能否从无到有地形成？”这个问题仍然很难下手。1983年著名数学家S. T. Yau与R. Schoen在一篇文章中指出：如果一个狭小区域中物质的密度足够大，那么一个俘获面在此刻就必然存在。但如何控制有10个方程的Einstein方程组，并完全靠引力效应得出物质密度（或能量密度）从稀疏变稠密的过程，这在当时还是一个难题。同时Christodoulou与Klainerman的工作虽然对Einstein场方程在小初值时的演化给出了详尽的解答。但俘获面能否形成是一个大初值问题，因为小初值时Minkowski空间的稳定性排除了俘获面形成的可能。而对于超临界非线性方程，大初值时的演化往往伴随着数学上出现各种各样的无穷，人们几乎寸步难行。对俘获面形成这一问题，数学的探索再次进入了停滞。
1990年代后期，Christodoulou与Klainerman沿着两个稍有不同的方向在继续前进。在球对称条件下，对无质量标量场的Einstein场方程，经过一系列文章中极其精巧的证明，Christodoulou证实了1960年代Penrose提出的弱宇宙监督猜测，即：在普适的情况下，时空中出现的奇点一定被黑洞区域所包裹；而即使时空中的裸奇点出现，它们也一定是不稳定的。Klainerman选择的道路更加数学，他发现Einstein场方程大初值的问题是与偏微分方程解的适定性与正则性紧密相连的，他把主要时间和精力投入到了发展数学工具证明Einstein场方程最优适定性与正则性上面。经过艰辛的努力，Klainerman-Rodnianski-Szeftel一起用超过一千页的篇幅，分几篇文章，最终证明了曲率平方可积的初值下，Einstein场方程是局部适定的。这一结果被认为是对Einstein场方程局部适定性方面可能证明的最优结果。
2000年代初，伴随着新一代数学家的成长，旋转黑洞（Kerr black hole）的非线性稳定性慢慢成为了一个热门问题。即使旋转黑洞的几何与代数性质非常复杂，但关于稳定性的研究仍然是一个小初值问题，人们当时普遍期待在20年左右的时间内，这个问题可以得到彻底解决。但俘获面能否形成的问题则被认为要等到更晚以后才能够被解决。
但是2007年及2008年的两篇文章打破了人们的预期。以一己之力，56岁的Christodoulou用两本分别为992页及589页的专著，先后刻画了没有对称性条件下，3维相对论可压Euler方程的激波形成细节，以及Einstein真空场方程演化中俘获面从无到有的形成过程。这其中的第二本专著彻底的解答了Wheeler在1960年代末期留给Christodoulou的博士论文题目。Christodoulou证明：在真空中利用引力波合适的汇聚能量，一个俘获面便可形成。从无穷远处，沿各个方向来的引力波携带着合适的能量向中心聚集，靠近中心处位置的能量密度越来越高，突然某个时刻一块黑洞区域出现。这个证明不需要任何的物质场。
为了这一刻，非线性波动方程的理论积攒了40年，Christodoulou也一直坚持研究这个问题坚持了40年。在他俘获面形成的专著中，他继续用了与Klainerman一起建立起来的时空几何量分解的证明框架，并且Christodoulou极富创造性的设计了一个带层级的初值条件。各几何量的行为不仅不同，它们的大小也在不同的层级，而这个层级随着时间的演化是几乎可以被保持的。在各几何量按层级演化的思想下，Christodoulou精炼出了两个指导俘获面形成的常微分方程。而这两个常微分方程确实给出了俘获面形成的大致过程，余下的便是要用Einstein场方程的全部信息去证明所希望是小的量都确实是小的。由于Einstein场方程的复杂结构，Christodoulou的原始证明用了近600页，虽然之后人们在相对更简单一些的初值条件下把这个证明化简到了大约60页，但对整个问题证明的过程中最原创和最富有洞见的思想来自于Christodoulou。Christodoulou对俘获面形成的这一工作也打开了在大初值条件下研究超临界非线性方程的一扇门。
在2008年Christodoulou取得突破之后，古典广义相对论又进入到了一个百花齐放的阶段，在强宇宙监督猜测、旋转黑洞的稳定性、反德西特（Anti de Sitter）时空的不稳定性、大爆炸奇点的稳定性等等问题上面数学家们取得了众多进展。Christodoulou与Klainerman-Szeftel也分别在激波发展和黑洞稳定性方面发表了新的专著。一定意义上，古典广义相对论的研究人员，又一次回到了1960年代Penrose和Hawking在数学上止步的地方，只不过这一次人们有了前人近40年努力而发展出的新数学工具。古典广义相对论的一个新的黄金时代正悄悄到来。
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