2021哈佛麻省数学竞赛邀请赛（HMIC） 中文翻译

考试时间：2021年4月24日-5月2日

1.有位客人环圆桌而坐. 可以对他们进行如下操作: 在每一步中, 任选两个座位相邻的人, 交换其位置. 若要通过若干步操作后, 使得每个人的位置都在自己最初位置的左侧位之外, 则至少需要多少步操作?

2.给定正整数, 某人在黑板上写下一行个实数 (按上面的顺序). 在每一步操作中, 他任选黑板一个实数, 将其替换为它与其相邻的数的平均值. 当然,和互相不相邻. 在操作过程中, 若一个数从非负变成了负数, 或者从负数变成了非负数, 就称这个数改变了符号. 求可能改变符号的次数的最大值(用表示).

3.设表示个正整数所组成的集合. 设.

求证: 存在复数, 使得, 且.

4.在三维空间中, 有三个正四面体 ,以及. 三个四面体两两不全等. 已知对任意为线段的中点.
判断四条直线 ,是否共点, 并证明.

5.在一个的网格表中, 可以标记个单元格, 使得任意一个包含了个单元格的矩形中, 都有至少一个单元格被标记. 求的所有可能的值.