每日一题361：逆向构建二重积分累次积分表达式求解定积分问题的思路与方法

练习题

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

「练习361」：(1) 计算如下定积分

0); \cr & {I_2} = \int_0^1 {{{x - 1} \over {\ln x}}} {\mathop{\rm d}\nolimits} x; \cr & {I_3} = \int_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {\cos x}}\ln {{1 a\cos x} \over {1 - a\cos x}}} {\mathop{\rm d}\nolimits} x\,(|a|

(2) 设,  ，在上有

证明：

【注1】先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！

【注2】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！

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练习参考解答

【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！

「练习361」：(1) 计算如下定积分

0); \cr & {I_2} = \int_0^1 {{{x - 1} \over {\ln x}}} {\mathop{\rm d}\nolimits} x; \cr & {I_3} = \int_0^{{\pi \over 2}} {{1 \over {\cos x}}\ln {{1 a\cos x} \over {1 - a\cos x}}} {\mathop{\rm d}\nolimits} x\,(|a|

(2) 设,  ，在上有

证明：

「思路分析」：二重积分的构建一般通过构建累次积分表达式分两次定积分来完成计算过程. 如在直角坐标系下，有

其中. 以上等式关系也可从右边到左边，即当需要计算的定积分 的被积函数可以改写成

时，则

其中, .

更一般地，如果定积分中的被积函数可以改写为

其中，则由微积分基本公式，得

于是得
即, ，则有

基于以上思路可以得到以上练习的求解思路与步骤.

「参考解答」：由于，故

于是交换积分次序，得

同(1)，可得，故有

由于，故当，时，有

于是可得

(2) 由于

故

又，故由积分的保号性可知上式大于等于，即所证不等式成立.

类似的二重积分求解、证明定积分问题更多的典型例题可以参见如下推文列表：

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