圆锥曲线系列讲义之23双曲线
本节讲解双曲线，虽然双曲线是不封闭的，但是她的性质和椭圆几乎一样，基本可以把椭圆中相应的结论中的b^2换成-b^2得到。而且这几年高考考纲降低了对双曲线的要求，高考压轴题中几乎不考察直线与双曲线的位置关系的题目了。竞赛中，双曲线出现的频率也较椭圆和抛物线低。
因此作为圆锥曲线公有的双曲线的性质这里就不再赘述。本篇主要介绍的是一般的双曲线独有的性质，双曲线最独特的性质是有两支且具有不封闭性，还有就是有渐近线。
P为C上的动点，过P的直线交渐近线于A,B,且AP=kPB,
此直线与C的另一个交点是Q。过P的C的切线交两条渐近线于C,D.过P作渐近线的平行线与另一条交于E、F。过P垂直于CD的直线交坐标轴于I,J。
1 直线和双曲线最多有几个交点？与双曲线有一个交点的直线是不是一定是其切线？
2 过一点做直线使得此直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线最多能做几条？
3 过对称轴上一点做直线使得被双曲线所截的弦长为定值，这样的直线最多有几条？
4 用k表示△OAB面积
5 比较AP和BQ的大小
6 P到渐近线距离之积是否为定值？
7 PE*PF是否为定值？△OEF面积是否为定值？
8 判断CP和PD大小关系，并求△OCD面积
9点M，N在射线OA，OB上且△OMN面积为定值，求MN中点P的轨迹
10 求证：CIDJ共圆。
1、直线和双曲线最多有几个交点？与双曲线有一个交点的直线是不是一定是其切线？
解：设直线y＝kx＋m，代入双曲线消去y，将椭圆联立结果代入即得，
显然为二次方程，最多有两个解，因此直线和双曲线最多有两个交点。
若仅有唯一解，除了切线满足判别式为0，还可以二次项系数为0，即此直线平行于渐近线。
注：
(1)在不准确的作图中，经常会出现直线与双曲线有四个交点的情形。从代数上看，显然直线与双曲线最多只能有两个交点。这体现了数形结合的威力。因此为准确起见，画双曲线时最好先作出渐近线。
(2)从几何和代数上都很容易理解与渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点。
2、过一点做直线使得此直线与双曲线只有一个公共点，这样的直线最多能做几条？
解：过一点做直线使得此直线与双曲线只有一个公共点，除了可以做出的两条切线外，还可以做两条于渐近线平行的直线，因此这样的直线最多有4条。
注：
进一步细分不难得到，点在不同的区域时，满足条件的直线可以是0,1,2,3,4条.
3过对称轴上一点做直线使得被双曲线所截的弦长为定值，这样的直线最多有几条？
解：如果只和一支双曲线相交，给定弦长，这样的直线最多有两条。如果与两支分别相交，这样的直线最多也有两条。因此这样的直线最多有四条。
注：
从几何意义上，本结论不难理解。当然本结论也可以用弦长公式代数计算证明，毕竟代数证明才比较严谨。不过相对有点麻烦，不太直观。
注：此结论简洁优美，内涵深刻，很多考试题都是此题的特例，例如2009年高考陕西卷21题等。只要想到利用定比分点公式得到P的坐标并带入解析式得到等式即可。面积公式如果不熟悉抛物线问题36中的结论，用定义推导也不困难。
5、比较AP和BQ的大小
解：AP=BQ，令AQ=mQB,且m≠k,由4得到
注：本结论等价于PQ和AB中点重合，当然也能通过和椭圆中类似的联立方程利用韦达定理证明，这里就略去了。
注：
(1)同上题类似，本题也就是求出坐标，然后计算即可。
(2)本题中面积的计算用坐标公式比较简单，当然也可以用定义，会稍微麻烦一点。不过也就展示了本题中两个结论之间的关系：△OEF的面积就是0.5OE*OF*sin∠EOF。所以他们之间是可以直接互相推导的。事实上，上题结论也可以与他们互推，因为P到OA的距离为
PFsin∠EOF。还要注意本题中平行四边形的面积也为定值，因为它是△OEF面积的两倍。
(3)当然这些结论也都可以利用第1题的结论及相似三角形面积性质得到，不过感觉有点舍近求远了。
8 、判断CP和PD大小关系，并求△OCD面积.
注：
(1) 本结论优美迷人，浑然天成，人见人爱，不可多得。
(2) 由中位线定理知OCD面积为OEF面积得4倍。因此本题结论和上题也是你中有我，我中有你，可以互相印证。
9、点M，N在射线OA，OB上且△OMN面积为定值s，求满足MP=kPN(k为定值)的点P的轨迹。
思路分析：本题相当于第一题的逆命题，因此估计轨迹为双曲线，OA、OB为渐近线，因此以O为原点，AOB内角平分为x轴正半轴建立直角坐标系，则
显然点P的轨迹为双曲线。
注：本题是第1题的逆命题，结论合情合理，证明也完全如法炮制。
10 、求证CIDJ共圆。
思路分析：由对称性，只需证明CI⊥ID即可，
证明：
本节讲解了一般的双曲线所具有的10条特殊性质，因为双曲线独特性是首先它有有两支，其次它有渐近线。所以基本特殊的性质都和渐近线或者两支有关的，本文主要讲解了与渐近线有关的几个问题，这些问题相对难度不高，因为毕竟渐近线方程比较简单。而且仔细思考可以发现他们之间是互通的，其中性质4最重要，后面的性质5,6,7,8,9几乎都是由它产生的，基本都是其特例或推论。当然性质8最漂亮，也最常见。