论数学之美,伟大数学家欧拉和他对巴塞尔问题的独创性见解
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对欧拉作品的研究仍然是不同数学领域的最佳学派,没有什么可以取代它。——高斯
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图1:卡尔·弗里德里希·高斯的肖像
读读欧拉,读读欧拉,他是大师中的大师——拉普拉斯
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图2:莱昂哈德·欧拉画像
巴塞尔问题
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方程1:巴塞尔问题
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图3:欧拉的故乡巴塞尔
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方程2:sinc(πx)函数的定义。
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图4:标准化的和未标准化的sinc(x)函数(分别用蓝色和红色表示)
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方程3:四次多项式f(x)写成零点的乘积。
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方程4
超越函数
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图5:指数函数、对数函数和三角函数的曲线图。
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方程5:sinc(πx)函数的根。
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由于方程5中的每一个根都有一个对应的负根,他可以这样写:
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公式6:sinc(πx)函数写成零点的乘积。
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方程7:将各项相乘,只关注二次项。
泰勒级数
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图6:增加泰勒级数的次数,它收敛于校正函数。黑色的曲线表示sin(x)其他曲线是泰勒近似,是1、3、5、7、9、11、13次多项式。
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方程8:对应于函数sin(x)的多次泰勒多项式。这些函数的曲线图见图6。
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方程9:sinc(πx)的泰勒级数。
比较两个结果
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方程10:巴塞尔问题的欧拉解。
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图7:沃利斯画像
一个严格的证明
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方程11
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方程12:E(n)的定义。
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方程13
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方程14:证明有效的必要条件
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方程15:通过简单的代数运算得出最终结果。
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