论数学之美，伟大数学家欧拉和他对巴塞尔问题的独创性见解

德国数学家、天文学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯被许多人认为是自古以来最伟大的数学家，他曾宣称：
对欧拉作品的研究仍然是不同数学领域的最佳学派，没有什么可以取代它。——高斯
  • 图1：卡尔·弗里德里希·高斯的肖像
本文将描述瑞士数学家莱昂哈德·欧拉是如何解决著名的巴塞尔问题的。欧拉是历史上最伟大的数学家之一。他的多产是一个传奇，他的作品集有92卷。皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯有一句著名的话：
读读欧拉，读读欧拉，他是大师中的大师——拉普拉斯
  • 图2：莱昂哈德·欧拉画像

巴塞尔问题

1650年，意大利数学家皮埃特罗·蒙奥利（Pietro Mengoli）首次提出了巴塞尔问题，欧拉在1734年解决了这个问题，这让他立刻得到了数学界的认可。这个问题要求自然数的平方的倒数之和：
  • 方程1：巴塞尔问题
许多有影响力的数学家试图找到一个平方的倒数之和的公式。微积分的两位共同发现者，约翰·沃利斯和戈特弗里德·莱布尼茨都曾尝试过，但都遭遇了失败。欧拉28时就解决了这个问题，他的答案让数学界感到惊讶。他的第一个证明（后来他又提供了几个）绝不是严格的，但它的美丽、简单和独创性是惊人的。
  • 图3：欧拉的故乡巴塞尔
欧拉的非凡见解是写出了sinc（πx）函数：
  • 方程2：sinc（πx）函数的定义。
作为它的零点的乘积。
  • 图4：标准化的和未标准化的sinc（x）函数（分别用蓝色和红色表示）
为了理解这一点，举个例子，考虑下面的四次多项式，它被写成零点的乘积：
  • 方程3：四次多项式f（x）写成零点的乘积。
将表达式乘出来，我们得到：
  • 方程4
欧拉的方法是对超越函数进行同样的展开。

超越函数

这类函数不满足如方程4这样的多项式方程。指数函数、三角函数和对数函数是三个著名的例子。
  • 图5：指数函数、对数函数和三角函数的曲线图。
sinc（πx）函数有以下根：
  • 方程5：sinc（πx）函数的根。
欧拉将sinc（x）写成与式3中的f（x）相同的形式。使用基本的数学恒等式：
  • 由于方程5中的每一个根都有一个对应的负根，他可以这样写：
  • 公式6：sinc（πx）函数写成零点的乘积。
下一步是将公式6中的项相乘，但只关注二次项：
  • 方程7：将各项相乘，只关注二次项。

泰勒级数

泰勒级数是函数的无穷项和的表示。每一项都是由函数在一个点上的导数值计算出来的。
  • 图6：增加泰勒级数的次数，它收敛于校正函数。黑色的曲线表示sin（x）其他曲线是泰勒近似，是1、3、5、7、9、11、13次多项式。
图6所示的七个泰勒级数，其代数形式如下：
  • 方程8：对应于函数sin（x）的多次泰勒多项式。这些函数的曲线图见图6。
sinc（x）函数的泰勒展开式为：
  • 方程9：sinc（πx）的泰勒级数。
你可以把方程8想象成一个无限次的“伪多项式”。这样的伪多项式有无穷根。根如方程5所示。

比较两个结果

比较方程7和方程9，我们得到了想要的结果：
  • 方程10：巴塞尔问题的欧拉解。
欧拉的推导给了我们著名的沃利斯乘积。只要把x = 1/2代入方程6，求倒数。得到：
  • 图7：沃利斯画像

一个严格的证明

最后，我们将看到如何获得欧拉结果的严格证明。考虑到函数：
  • 方程11
然后定义数字E（n）并计算它，对方程11的第二个等式后的表达式进行积分：
  • 方程12：E（n）的定义。
很明显，对于k是偶数的情况，右边的和是0。因此，可以用（2k-1）代入k，只考虑E的子索引为奇数的项：
  • 方程13
现在，为了完成证明，我们需要证明这个表达式消失了。由于这个证明过程相当费力，而且不是很有启发性，因此将省略它。其结果是：
  • 方程14：证明有效的必要条件
经过一些简单的代数运算，我们再次得到方程10：
  • 方程15：通过简单的代数运算得出最终结果。
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