与二次函数有关的面积问题

有许多面积的最大(小)值问题, 是中考的重点题型，常常是例用二次函数的最大(小)值来解决的,现举例说明这类问题的解法.

例1.现有一块矩形场地，如图1所示，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A兰花；B菊花；C月季；D牵牛花．

（1）求出这块场地中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自为量的取值范围．

（2）当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？

分析：这是花草种植面积的最值问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值.

例2.某农场计划建一个养鸡场,为了节约材料,鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙足够长),另外的部分用30米的竹篱笆围成,现在两种方案：①围成一个矩形(如图2)；②围成一个半圆形(如图3).设矩形的面积为S₁平方米,宽为x米, 半圆形的面积为S₂平方米,半径为x米,请你通过计算帮助农场主选择一个围成区域面积最大的方案(π取3).

分析：这是一道实际应用问题，方案②中半圆的面积是固定不变的，解决本题的关键是确定方案①中矩形面积的最大值，然后再比较.因此，对于方案①，需要根据矩形的面积构造二次函数，通过求二次函数的最值解决．

例3.在某市开展的创城活动中，桃园小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图4所示）．若设花园的BC的边长为x(cm)，花园的面积为y (m²）．

（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量是x的取值范围；

（2）满足条件的花园面积能达到200m²吗？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由；

（3）根据（1）中求得的函数关系式,描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？

分析：（1）根据矩形的面积可以确定函数表达式,根据墙长可确定自变量的范围；（2）假设可到200m²矩形,根据函数值构造方程,求出x的值与墙长比较,从而判断是否面积可达到200m²；（3）通过求二次函数的最值可求到花园的最大面积.

注意：顶点横坐标在自变量的取值范围内时，二次函数在顶点处取得最值；顶点横坐标不在自变量的取值范围内时，要根据题目条件，结合函数的性质，进行具体分析，才能求出符合题意的最值．本题应在x的取值范围0<x≤15中确定函数最大值.