小学数学思维训练题（3）「含分析与解答」
1．分数3/71的分子和分母同时加上一个相同的数，使分数变成1/5。问：这个加上的数是多少？（类比转化法）
【分析与解答】本题的要求是要我们求分子和分母同加上什么数，使分数的分母是分子的5倍。因为分子和分母不管加上什么数，它们的差71-3=68是不变的，所以，根据这一特点，我们一定会想起本题和年龄问题相类似。例如，儿子今年6岁，父亲33岁，问几年以后父亲的年龄正好是儿子的4倍？父亲与儿子的年龄差是27岁，这个差是不变的。几年后父亲的年龄是儿子的4倍，27岁相当于几年后儿子年龄的（4-1=）3倍。用除法就可以求出：（33-6）÷（4-1）=9岁，9-6=3年，也就是3年后父亲的年龄是儿子的4倍。
同理，本题中分母与分子的差68相当于新分子的（5-1=）4倍，用除法可求出新分子，进而再求出分子和分母同加上的是什么数。（71-3）÷（5-1）-3=14，即分子与分母同时加上14，可以使分数变成1/5。
2．某商品76件，出售给33位顾客，每位最多买3件，买1件按定价，买2件降价10%，买3件降价20%。最后结算，平均每件恰好按原价的85%出售，那么买3件的顾客有多少人？（类比转化法）
【分析与解答】题目已给出平均数85%，可以作为比较的基准。1人买3件少5%×3；1人买2件多5%×2；1人买1件多15%×1。1人买3件与1人买1件组成A组，即按1：1的比例；2人买3件与3人买2件组成B组，即按2；3的比例。A组是2人买4件，每人平均买2件；B组是5人买12件，每人平均买2.4件。
现在已经建立了一个鸡兔同笼模型的问题：总脚数76，总只数33，兔脚数2.4，鸡脚数2。B组人数是（76-2×33）÷（2.4-2）=25人，其中买3件的有25÷（2+3）×2=10人，买2件的有25÷（2+3）×3=15人；A组人数是33-25=8人，其中买3件的有4人，买1件的有4人。也就是说买3件的一共有10+4=14人。
3．两人轮流从1，2，3，……，9这9个数字中取数。每次取1个，谁先取的数中有3个数的和为15就算赢家。如果第1个人取的数是5，那么第2个人应该取几才能使自己立于不败之地？（类比转化法）
【分析与解答】这个问题实际上是“井字棋”游戏，乙的对策如果不对，会导致失败。本题条件中的“和为15”，使我们联想到“三阶幻方”，它的每行、每列及对角线的和都是15。故本题等价于甲乙二人轮流将黑白二色棋子放入九宫格中，哪一方放入的棋子先成一行（横行、竖行和斜行）者为胜。甲先占了中间一格，乙应选哪一格才能保证自己不败？
假设乙选择边上的位置，比如选3，则甲选4，乙只好选6。甲再选2，这时8、9这两个位置乙只能选一个，甲必得其一，这样甲就必胜无疑了。
当甲选5时，乙应选九宫格中位角上的数字，即应选2、4、6、8中的一个，才能使自己立于不败之地。
4．21个球队用淘汰制决定冠军，总共要赛多少场？（逆推法）
【分析与解答】淘汰制就是每两个队比赛一场淘汰一个队，依此类推，赛到最后一对，胜利者就是冠军。解答此题的一般是顺推法，比较复杂，如果用逆推法就简单、巧妙得多。
因为淘汰一个队要赛1场，总共是21个队，而获得冠军的只有1个队，也就是说要淘汰20个队，总共要赛20场。
5．一份试卷共25道题。每一道题给出4个答案，其中只有一个正确。要求考生把正确的选出来，每选对一题得4分，不选或错选扣1分。如果一个学生得90分，那么他做对了几道题？（逆推法）
【分析与解答】此题按正向思维的方法解，很难，要不就用假设法。如果用逆推法就简单、巧妙得多。因为选错或不选扣1分，与做对相比，损失5分，得90分的人被扣了10分，这就是选错或不选的有2道题，所以选对了23题。
6．一年级和六年级共100人摘了100千克茶叶，六年级每人摘3千克，一年级每3人摘1千克，问一年级和六年级各有多少人？（分组法）
【分析与解答】学生一般用假设法来解答这类题。如果用分组法解答此题就更简单、更容易理解。
因为六年级1人摘3千克，一年级3人摘1千克，所以把六年级的1人和一年级的3人分为一组，这4人可以摘茶叶4千克，100千克里有几个4千克，就有几组学生，有几组就有几名六年级的学生。100÷（3+1）=25人，100-25=75人。
7．甲乙二人做换棋子游戏，甲有100个棋子，乙有20个棋子。如果甲每次给乙5个棋子，乙再还给甲3个棋子，那么按照这样的方法连续调换多少次，乙的棋子是甲的3倍？（抓不变量）
【分析与解答】此题如果我们按照甲的棋子每次减少（5-3）个，乙的棋子每次增加（5-3）个，一步一步地推算，解答起来就很麻烦。如果能抓住“和不变”进行思考，问题就简单了。当“乙的棋子是甲的3倍”时，则两人共有的棋子（100+20）个就相当于甲这时所有棋子的（3+1）倍。（100+20）÷（3+1）=30个，（100-30）÷（5-3）=35次。
8．龟兔进行10000米赛跑，兔子的速度是龟的速度的5倍，当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时，龟已经领先它5000米。兔子奋起直追，但龟到达终点时，兔子仍落后100米，那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？（灵感思维）
【分析与解答1】假定兔子不睡觉（这是巧妙之处），当龟跑完全程10000米时，兔子应跑10000×5=50000米，但实际上只跑了10000-100=9900米，少跑了50000-9900=40100米，这40100米正是兔子睡觉所耽误的路程。因此在兔子睡觉期间龟跑了40100÷5=8020米。
【分析与解答2】假定兔子一次性跑到离终点100米处在睡觉（这是巧妙之处），此时兔子跑了10000-100=9900米，龟跑了9900÷5=1980米，剩下10000-1980=8020米，这正是在兔子睡觉期间龟跑的路程。我们不难发现，题目中的条件“5000米”是多余的。
9．把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可使乘积最大？（极端思维）
【分析与解答】十分明显，这样的数是很多的，我们不可能也没有必要一一找，如果用极端思维，情况就变得十分简单了。首先把14这个数推向最大的一端，拆的个数要尽可能多，多一个可多乘一次，接着把加数推向最小一端：加数不宜超过4，比如5拆成2和3，则2×3＞5，这就说明加数大于4的，要尽量拆小；但不应出现1，因为1与任何数的乘积仍为原数；另外在所拆的数中，2的个数不能多于2，因为2×2×2＜3×3。
这样14应尽可能拆成3，因为4×3=12，所以14拆成了3、3、3、3、2时，这些数的乘积最大，其乘积为3×3×3×3×2=162。
10．有一天，某商店估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个多少元？（极端思维）
【分析与解答】这道题目的数量关系比较复杂，而题目所给的条件不够充分，若用一般的方法去分析解答，看来比较困难。我们不妨抓住题目中的“涨价”和“销量减少”这两个极端，问题就容易解答了。
因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品是按单价90元进货，共进了600个。现把600个商品按每份10个，可分成60份，因每个涨价1元，销售就减少1份（即10个）；相反，每个减少1元，销售就增加1份。所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大利润。因此，每个售价定为90+30=120元时，这一天能获得最大利润。