UC头条：由浅入深, 我这样理解导数基本概念
对导数的认识
最近开始学习导数了。
其实，
很多的同学都是内心忐忑的。
原因也是简单，
因为早听说了“导数压轴”嘛。
但其实，
对于导数本身来说，
最基本的概念才是最重要的，
难一些的，
也大多只是基础知识的一再深入而已。
对于导数，
打好了基础，
才能做最好的超越。
所以，
今天就说说导数的基本概念了。
01
平均变化率
说到导数，
当然不能不说平均变化率。
什么叫平均变化率呢？
其实，
我们可以从两条线，
去进行对它的理解和分析。
首先，
就是我们熟悉的平均速度了
路程对时间的变化率。
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当然，
如果从数学上来看，
平均速度，
其实就是“函数值对自变量的改变率”。
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其实这个，
就是数学里的平均变化率了。
如果从图形上看，
平均变化率，
也是有着它的几何意义的。
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嗯，
平均变化率的几何意义，
其实也就是曲线上一条割线的斜率：
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02
瞬时变化率
瞬时这个字眼，
一定会让你想起瞬时速度的吧。
就是物体在某一时刻的速度。
确实数学里是相似的，
瞬时变化率，
就是函数在某一点处的斜率了。
某一点处的斜率，
那自然就应该是切线的斜率了。
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左边逼近
这种动点从左边逼近，
称为左逼近，
用符号语言可以写成这个样子：
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这个B又称为函数在该点处割线的左极限。
右边逼近
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象是这种动点从右边逼近的，
称为右逼近，
用符号语言可以写成这个样子：
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这个A又称为函数在该点处割线的右极限。
如果这个动点，
无论从左边还是右边逼近定点时，
平均变化率都逼近于同一个定值，
也就是说左极限等于右极限，
才说瞬时变化率是存在的，
而且瞬时变化率就等于这个定值。
而且这个定值，
从下面这个图中可以看出，
应该就是曲线在点A 处的切线斜率了。
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那么问题就来了，
就象是下面这个函数，
当动点分别从左边和右边向点A逼近，
割线的最终位置并不相同，
也就是在点A处割线的左右极限并不相等时，
又该怎么办呢？
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嗯，
左右为难时，
一般就认为该点处的瞬时变化率不存在了。
其实，
也就是曲线在该点处没有切线存在了。
我想，
这也是容易理解并接受的。
03
导 数
终于说到正题了。
究竞什么是导数呢？
其实书上的定义也非常简单了，
导数就是瞬时变化率嘛！
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所以现在我们知道了，
导数就是瞬时速度，
瞬时速度就是导数，
两者是完全等价的了。
因此物理中，
物体运动时某一时刻的瞬时速度，
就是数学中函数在某点处的导数了。
更一般地，
如果将一般化了，
得到的函数称为导函数，
原来的函数叫原函数。
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因为导数是定点处，
割线的左右极限存在且相等，
因此，
对于闭区间来说，
区间端点处的导数是一定不存在的。
如果函数在开区间内任意一点都存在导数，
就称这个函数在开区间内为可导函数。
在定义域内，
只要有一个点处的导数不存在，
就称该函数为不可导函数。
因此对于可导函数，
在每一点处割线的左右极限都存在，
而且一定相等。
其实就是每一点处都有切线了。
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从切线的角度理解，
只要在开区间内，
曲线上每一点处切线都存在，
函数就一定是可导的。
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04
导数的几何意义
导数的定义，
已经明确了导数的几何意义，
那就是切线的斜率了。
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但一定要记住，
是切点处切线的斜率！
切线，
在几何中是一个热点话题。
其实，
在导数里也是一样的。
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05
求导公式或法则
当然，
要想很顺利的求得导数值，
仅用定义显然是不够的，
必须要有一些常用公式或法则，
以简化求导的过程。
所以就必须要记住一些常见的，
求导公式和求导法则了。
求导公式
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求导法则
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有了这些求导公式和法则之后，
在求导时，
我们就可以放弃导数定义，
肆无忌惮地求导数了。
当然，
离导数的核心，
还有很长一段距离……