神奇的预测

我很喜欢《思维的发现》这本书。

作者很聪明，讲故事而不写计算，尽管主角之一阿莫斯是个数学高手。

其中有段写到一个经典的实验：

密歇根大学沃德·爱德华兹实验室里做了个研究，主题是：

人类在决策制定过程中如何对新信息做出反应。

实验是这样的：

• 研究人员把满满两口袋筹码放在被试面前，每只口袋里都有红白两种颜色的筹码。

• 一号口袋里，75%的筹码是白色，25%的筹码是红色。

• 二号口袋里正好相反，75%是红色，25%是白色。

• 被试随机挑选一只口袋，然后把筹码一个接一个往外拿，其间不得向袋子里面看。

• 每拿出一个筹码，他都需向研究人员汇报他的猜测：他手中的袋子究竟是白色筹码居多，还是红色筹码居多？

这其实是一个贝叶斯计算。但实验的目的不是测试数学，而是测试人类对概率的直觉。

比方说，你摸出了一个红球，让你猜，这个球来自一号口袋还是二号口袋？可能性是多大？

然后你又摸了一个，还是红球，你可以再根据这个信息来调整你的猜测。

刘易斯写了这个实验，但是并没有给出计算，尽管这个计算很简单。

但这个计算很有趣，而且非常令人疑惑。

请允许我画一下：

第一个球的计算很简单，即使不用所谓贝叶斯也能够理解，一号口袋里有1/4的红球，二号口袋里有3/4的红球。这不很简单嘛，干嘛还要列个公式？

第二个球还是红球，这相当于连续发生，所以就是概率相乘：

第三个球还是红球，继续概率相乘：

这里面好玩的地方是：

研究表明，当被试从口袋中抽出的是红色筹码时，他们更倾向于认为该口袋里红色筹码占多数。假如他们抽出的头三个筹码都是红色，那么他们认为袋中筹码以红色为主的概率就变成了之前的3倍。

他们的判断没错，只不过，根据贝叶斯定理的计算结果，概率其实变成了之前的27倍。换言之，他们的判断方向是正确的，就是转换的幅度没有那么大。

这里面让人迷惑的是概率叠加。

人们对一层概率的感觉还是可以的，但是多层概率相乘，就会有点儿绕不过来。

比方说，还是上面的题，请问：

现在连续在某个口袋里摸出了三个红球，该口袋是二号的概率是多大？

根据上面的计算，来自二号口袋的概率是27/（1+27）=96.42%。

我一直打算讲一下这本书里的这个实验。

我感兴趣的地方，不是计算本身，而是根据更新的信息，逼近真相的速度。也就是预测能力。

大脑在面对信息时，会有一个加工的过程。这种加工能力，决定了大脑厉害与否，以及一个人能否在现实世界里做出更聪明的决策。

如上计算，每摸到一个红球，是二号口袋的概率就会乘上3倍。三次的话，就是3的三次方，也就是27倍。

这种指数式的增长，可能是贝叶斯推理的神奇力量所在。

以后我应该会单独写篇掺杂了鸡汤和成功学的票房文章吧。

也许你会觉得上面这道题太简单了。

那就继续。

《决策与判断》这本书也不错，虽然看起来并不容易。

书里写道，人们都有保守主义情结，即使出现了新信息，也不愿意根据新信息来更新先验概率。

简单点儿说，就是人们一方面会忽略基础概率，另外一方面，又不擅长用信息来更新概率。

再进一步，假如信息在连续更新，那么人的大脑就更绕不过弯儿了（例如上面的3的三次方）。

看一个书里的题：

• 两个各装了100个球的箱子；

• 甲箱子中有70个红球，30个绿球，乙箱子中有30个红球，70个绿球；

• 随机选择其中一个箱子，从中拿出一个球记下球色再放回原箱子；

• 如此重复12次，记录得到8次红球，4次绿球。

请问：被选择的箱子是甲箱子的概率有多大？

看到这道题，你也许就想用贝叶斯公式套一下吧？

其实还是不用。

摸到一次红球，来自甲箱子的概率是0.7，来自乙箱子的概率是0.3。

我们也可以表述为来自甲箱子的可能性是来自乙箱子的7/3倍。

由于摸出来球的颜色的顺序并不重要，所以连摸8次红球，来自甲箱子的可能性是来自乙箱子的7/3倍的八次方。

但是又摸了4次绿球，这就像可能性的反转，因为摸一次绿球，来自甲箱子的可能性是来自乙箱子的3/7倍，正好倒过来了。

既然是4次，那就是3/7倍的四次方。

“7/3倍的八次方”与“3/7倍的四次方”相乘，约等于39.06，这就是箱子是甲箱子的可能性相对于是乙的可能性的倍数。

所以，来自甲箱子的可能性是39.06/（39.06+1）=97.5%

（书中答案是97%。我上面是自己快速算了一下，未经确认正误。）

该书讲这个例子，其实也是做了个测试，让大家根据摸球（书中是抓扑克牌）的结果，来猜概率。

结果呢？

如果你的答案和大多数人一样，你会认为概率在70％到80％之间。从本质上讲，你将原先的随机概率50％（两个箱子是随机选择的）调整到了70％到80％之间，主要是因为抽出的红色球大于绿色。

但是根据贝叶斯法则，正确的答案应该是97％（详细计算见Edwards，1968）。比起数据可以允许的改变来，绝大多数人对概率估计作出的改变要保守得多。

人的大脑对叠加的概率还真不拿手。

在概率理论中，单个的事件被认为是“简单”事件，同时多个事件被认为是“复合”（compound）事件。

书里说，研究者发现：这样的结果显示，人们在判断连续事件发生的概率时倾向于高估，而判断非连续事件发生的概率时倾向于低估（Barclay&Beach，1972；Wyer，1976）。

这里又有一点点小绕，既然偏向于高估连续事件发生的概率，为什么上面的实验，人们低估了来自甲箱子的概率呢？

书里没写这个。

我想，那是因为，我们是根据摸出来的球的颜色所提供的新信息来计算“逆概率”，所以关于高估低估是反过来的。这里面的小绕就不说了。

但我感兴趣的，和研究者们的话题不一样。

你发现没有，上面两个箱子里，一共有200个球，但是我们只通过摸了12次，就将球来自甲箱子的可能性提升到了97%。

这可能就是贝叶斯用来预测的神奇力量之所在了。