高中数学19条“秒杀公式”

1  函数的周期性问题

①若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;

②若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。

注意点：

a.周期函数，周期必无限

b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。

c.周期函数加周期函数未必是周期函数。

③关于对称问题

若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2;

函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;

若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a，b)中心对称。

2  函数奇偶性

①对于属于R上的奇函数有f(0)=0;

②对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项。

3  函数单调性

若函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)。

4  函数对称性

①若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c则函数关于(a+b/2，c/2)成中心对称。

②若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)则函数关于直线x=a+b/2成轴对称。

5

函数y=(sinx)/x是偶函数。在(0，π)上单调递减，(-π，0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。

6

函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减。另外y=x²(1/x)与该函数的单调性一致。

7  复合函数

①复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外。

②复合函数单调性：同增异减。

8  数列定律

等差数列中：S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差。

9  隔项相消

对于Sn

=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]

注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。

10  面积公式

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题!

11  空间立体几何中：以下命题均错

①空间中不同三点确定一个平面

②垂直同一直线的两直线平行

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形

④如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线垂直平面

⑤有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱

⑥有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体都是棱锥

12

所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

13

求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。答案为：当n为奇数，最小值为(n²-1)/4，在x=(n+1)/2时取到;当n为偶数时，最小值为n²/4，在x=n/2或n/2+1时取到。

14  椭圆中焦点三角形面积公式

S=b²tan(A/2)在双曲线中：S=b²/tan(A/2)说明：适用于焦点在x轴，且标准的圆锥曲线。A为两焦半径夹角。

15

[转化思想]切线长l=√(d²-r²)d表示圆外一点到圆心得距离，r为圆半径，而d最小为圆心到直线的距离。

16

对于y²=2px，过焦点的互相垂直的两弦AB、CD，它们的和最小为8p。

17  易错点

若f(x+a)[a任意]为奇函数，那么得到的结论是f(x+a)=-f(-x+a)〔等式右边不是-f(-x-a)〕，同理如果f(x+a)为偶函数，可得f(x+a)=f(-x+a)牢记!

18  三角形垂心定理

①向量OH=向量OA+向量OB+向量OC(O为三角形外心，H为垂心。

②若三角形的三个顶点都在函数y=1/x的图象上，则它的垂心也在这个函数图象上。

19  与三角形有关的定理

①在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

②任意三角形射影定理(又称第一余弦定理)：

在△ABC中a=bcosC+ccosB;b=ccosA+acosC;c=acosB+bcosA

③任意三角形内切圆半径r=2S/a+b+c(S为面积)