一个存在80年之久的代数猜想
本文来自微信公众号：原理（ID：principia1687），作者：E. Klarreich，编译：佐佑，图片：岳岳子&雯雯子，原文标题：《数学家找到单位猜想的一个反例》，头图来自：《美丽心灵》
一
2月22日，数学家Giles Gardam在网上进行了一场长达一个多小时的演讲，演讲的内容是与K理论有着深厚渊源的单位猜想。这个猜想是一个基本却又令人困惑的代数问题，自被提出以来，已经困扰了数学家80多年之久。
1940年，英国数学家格雷厄姆·希格曼（Graham Higman）在他的博士论文中提出了单位猜想和零因数猜想；1956年，20世纪最杰出的数学家之一欧文·卡普兰斯基（Irving Kaplansky）在一份演讲报告中提到了零因数猜想；到了1970年，卡普兰斯基在一篇题为《环理论的问题》的论文中，正式提出了单位猜想和零因数猜想。
现在，单位猜想与零因数猜想和幂等猜想被统称为卡普兰斯基猜想。在卡普兰斯基的努力下，这些猜想受到了更多的关注。但一直以来，这些猜想都仍处于未决的状态。在近期的这场演讲中，Gardam介绍了单位猜想的发展史，以及与零因数猜想和幂等猜想有关的一些信息。在演讲的最后时分，他突然告诉大家：“现在是时候告诉大家一些新东西了——单位猜想实际上是错误的。”消息一出，便引起了许多数学家的注意，因为卡普兰斯基猜想与邻近数学领域的一些其他问题有关。
二
单位猜想涉及到群论中的大量知识。群论研究的是那些定义了可逆结合的乘积运算的集合。一个能够被称为群的集合，需要在其乘法运算的表现是正确的情况下，还满足两个额外的要求：一是集合中必须包含一个这样的特殊元素（通常被标记为“1”），当它与其他元素相乘时，其他元素能维持不变；二是每个元素g都必须有一个乘法逆元（写作“g-1”），且当它与g相乘时等于1（g×g-1=1）。
单位猜想所探讨的问题是：在一个代数结构族中，有哪些元素具有乘法逆元？不过它所考虑的并不是普通数字的乘法逆元，而是群代数（一种将数字系统与一个群结合起来的结构）中的元素的乘法逆元。
在许多方面，群代数中的元素与多项式很类似，只不过它们之间存在一个关键区别：对于多项式来说，当两个多项式相乘，有些项可能会相互抵消，但指数最高的那项中总会留下，比如(x - 1)(x + 1)=x2+x-x-1，互相抵消的是x和−x，x2仍然存在；但在群代数中，群的元素之间的关系可能导致一些其他的难以预测的抵消。
举个例子，假设有一个群是字母“A”的对称变换的集合，这个群只有两个元素：一是让每个点都维持在原有位置的转换（即“1”）；二是通过中央垂直轴进行的两次反射（记为“r”），反射两次会使每个点都复原到原来的位置，r×r=1。在这种情况下，如果将r+2与−r/3+2/3相乘，那么会发现几乎所有的项都抵消了，只留下了1。于是乎r+2和−r/3+2/3是一对乘法逆元。
在1940年，希格曼提出一个大胆的猜想，他认为在群代数中，这种所有项都全部抵消的情况，只在用于构造群代数的群包含某些幂等于1的元素时才会发生。他提出，在所有其他群代数中，只有最简单的元素才有乘法逆元，即只含一项的元素（如3x）可以具有乘法逆元，具有多个项的和（如r+2）的元素不具有乘法逆元。
三
卡普兰斯基呼吁更多数学家来关注这个猜想，他将单位猜想与零因子猜想和幂等猜想打包在一起并进行了推广。再后来，有人将强大的代数K理论引入其中，这使一些数学家得以为零因子猜想和幂等猜想提供一些证据，但对单位猜想始终无能为力。
在很长一段时间里，数学家既不能证明这个猜想，也不能找到其反例。许多数学家都已经放弃了这三个猜想，将证明或推翻它们都视为无望之事。直到现在。
Gardam通过在由一种特定三维晶体形状的对称性构成的群代数中，发现了不同寻常的“单位”，他在这个群代数中发现了具有乘法逆元的元素，因而证明了单位猜想是错误的。在一篇于2月25日向arXiv提交了一篇文章，Gardam简单描述了他通过利用三维晶体形状的对称性结构，找到了单位猜想的一个反例。
在Gardam的证明中，他用到了一个简单的被称为Hantzsche-Wendt的群，这个群描绘了一种被物理学家认为是宇宙形状的可能模型的对称性，而这种形状是通过将三维晶体的侧面粘合起来而建立的。Hantzsche-Wendt群是一个无限群，即使对于群代数中的简短的和，也存在无限多种可能性。在2010年，有数学家证明，即使在Hantzsche-Wendt群中存在单位猜想的反例，也不会存在于最简单的求和之中。
Gardam由Hantzsche-Wendt群建立的群代数中，找到了一对分别具有21项的乘法逆元。找到这一对乘法逆元需要计算机进行大量的复杂搜索，但验证它们是否是一对乘法逆元则并不困难，只需将它们相乘，再检查得到的441项乘积是否可以简化为1。
对于成功找到的这一反例，Gardam表示，这更多的是一个概念性的证明，虽然目前无法预知这个反例将如何影响其他卡普兰斯基猜想，但这表明了研究这个问题并非无望之事。
目前，Gardam还尚未公布他的算法细节，一旦公布，其他数学家或许就找到更多的反例。有数学家推测，或许在不久的未来，我们就将找到无数个反例。接下来，留给数学家的任务将是理解Gardam的复杂单位背后的原理。
#参考来源：
https://www.quantamagazine.org/mathematician-disproves-group-algebra-unit-conjecture-20210412/
https://arxiv.org/pdf/2102.11818.pdf
https://www.uni-muenster.de/MathematicsMuenster/news/artikel/2021-03-04.shtml
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