点点滴滴之椭圆性质(三)

已知椭圆 直线 与椭圆 交于 A、  不同两点,线段 AB 的中点为 P,直线OP 的斜率为 O为坐标原点,则 k ・ 为常数.如图一:

图一

证明:设A(x1y1),B(x2y2),P(x0y0)因为点P为AB的中点,

由此结论我们看2013年高考北京卷(理)

已知A B C 是椭圆 上的三个点, 0 是坐标原点.
(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 0ABC 为菱形时, 求此菱形的面积
(II)当点 B 不是 W 的顶点时, 判断四边形 0ABC 是否可能为菱形, 并说明理由.
显然四边形 0ABC 不可能为菱形,因为若四边形 0ABC 为菱形,则

而由上述结论 所以四边形 不可能为菱形.

由此可以得到如下两个结论:

(1)若一组平行线l、l1、l2、┄,与椭圆分别交于A、B;A1、B1;A2、B2;┄,若线段AB、A1B1、A2B2、┄的中点分别为P、P1、P2、┄,则点O、P、P1、P2、┄共线,图二:

图二

特殊的一组平行线m1、m1、l、l1、l2、┄,其中m1、m1与椭圆分别相切于M1、M2,l、l1、l2、┄,与椭圆分别交于A、B;A1、B1;A2、B2;┄,若线段AB、A1B1、A2B2、┄的中点分别为P、P1、P2、┄,则点M1、M2、O、P、P1、P2、┄共线,图三:

图三

(2) 已知椭圆 为椭圆 的左右焦点,直线 与椭圆 M 交于 A、B 不同两点,线段 AB 的中点为P,直线 FiP、F2P 的斜率分别为 则 为常数,如图四:

图四

特殊的若椭圆 与直线 相切于点 直线 的斜率分别为 则 为常数.如图五:

图五

结论(1)显然成立,下面证明结论(2),先看如下规律:

如图六,点 A、B 为x轴上任意两点,M 为线段 AB 的中点,P为x轴外任意一点,当直线 PA、PB、PM 的斜率 kpA、 kpB、kpM都存在时,.如图七,点 A、B 为y轴上任意两点,M 为线段 AB 的中点,P为y轴外任意一点,当直线 PAPB、PM 的斜率kpA、 kpB、kpM都不为 0 时

图六                                                                  图七

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