中学数学：圆中线与角线所涉及的25个经典模型（动图/结论）

01.平行于弦的半径

课本上有垂直于弦的半(直)径，即垂径定理，知二推三，平行于弦的半径也是有特殊之处的。

又用到了经典的知二推一

02.内外平分线

由刚才结论，加上垂径定理结论即可

03.特别圆周角的平分线

依然利用知二推一即可得

04.相交圆三倍弧

利用圆周角的倍数关系就是弧的倍数关系

05.平行弦等弧

平行弦之间弧是相等的，借助此可以引出很多结论

06.等弦连中点

相等的弦中点连线和两弦夹角相等，反之亦然

利用同圆中相等的弦心距，对应的弦相等

07.三角形边为直径

任何三角形以一边为直径都有如下结论

还是倒角，圆中的味道就在于倒角

08.弦弧三等分

证明1利用了线簇模型

点击查看线簇模型：相似三角形的经典模型上

09.总是垂直

无论EF在什么位置，垂直都是成立的

证明主要利用了圆内接四边形的性质，还有四点共圆的证明

10.平行弦得共圆

平行的弦夹等弧都知道，这是平行弦得四点共圆

主要用到外角定理 ，圆心角圆周角关系等角度的知识，证明共圆用的是等弦对等角

11.取半径长得三倍弧

在圆中取EG等于半长，则有结论

关键就是倒角，圆中的技术乐趣，尽在倒角上，借机回忆下和角有关的条件，有平行，等腰（还有圆中半径围成等腰），外角定理，内角和定理，圆中的圆周角，圆心角，圆内接四边形的内对角，外角等等。

12.圆外一点做垂弦

垂径定理知二推三，圆外一点连圆心，再做垂弦其实就差不多

利用对称性，圆周角和圆心角，等弧对等角（弧的倍数等于圆周（心）角的倍数），最后结论是经典的字母型的线段关系。推出字母相似即可。

13.弦外取半径得三倍弧

类似于刚才的三倍弧，在弦外截取半径，可以得到三倍弧（其实就是角三倍）。

无疑还是倒角

14.直径上的等角

直径上取角相等且同侧，则有相似

注意相似的对应点。结合对称和等弧对等圆周角

15.向半径做垂线

圆上点向半径做垂线，垂足连线为定值

这个证明利用了，定角定半径定弦（二定一为定）

延伸阅读：

定弦定角模型全解析

进一步探讨定弦定角（最值）问题

一道定边定角类型的题目的多种解法

16.截圆得等长

还是来回倒角，关键用了圆内接四边形的外角等于不相邻的内角。

17.定弦交点的轨迹

证明的原理还是定弦定角，而且两侧的角是互补的。

18.弧中点连线截等腰

等腰只需底角相等即可

19.三弧中点得垂直

这里有两个结论取两个中点的时候可以得到等腰，这个时候再取第三个中点即可得到垂直，证明用的还是倒角为主。

20.弧中点得相似

相似还是由角来得到，圆中多的是和角相关的性质。

21.弧中点得共圆

还是弧中点，其实象征的等角，由等角再到共圆。

22.垂弦切线得等腰

切线其实也是一个垂直的角度条件啊

23.垂直的弦得等角

利用共圆的知识易得

24.弦的垂线

利用了圆中的旋转思路（延伸阅读：旋转策略，从简单到不简单）

25.垂弦得角平分

简单的一个倒角