R语言里的非线性模型：多项式回归、局部样条、平滑样条、广义相加模型GAM分析 / 开普饭

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总览

在这里，我们放宽了流行的线性方法的假设。有时线性假设只是一个很差的近似值。有许多方法可以解决此问题，其中一些方法可以通过使用正则化方法降低模型复杂性来解决。但是，这些技术仍然使用线性模型，到目前为止只能进行改进。本文本专注于线性模型的扩展

_多项式回归_ 这是对数据提供非线性拟合的简单方法。
_阶跃函数_ 将变量的范围划分为 _K个_ 不同的区域，以生成定性变量。这具有拟合分段常数函数的效果。
_回归样条_ 比多项式和阶跃函数更灵活，并且实际上是两者的扩展。
_局部样条曲线_ 类似于回归样条曲线，但是允许区域重叠，并且可以平滑地重叠。
_平滑样条曲线_ 也类似于回归样条曲线，但是它们最小化平滑度惩罚的残差平方和准则。
_广义加性模型_ 允许扩展上述方法以处理多个预测变量。

多项式回归

这是扩展线性模型的最传统方法。随着我们增加多项式的项，多项式回归使我们能够生成非线性的曲线，同时仍使用最小二乘法估计系数。

逐步回归

它经常用于生物统计学和流行病学中。

回归样条

回归样条是扩展多项式和逐步回归技术的许多_基本_函数之一。事实上。多项式和逐步回归函数只是_基_ 函数的特定情况。

这是分段三次拟合的示例（左上图）。

为了解决此问题，更好的解决方案是采用约束，使拟合曲线必须连续。

选择结的位置和数量

一种选择是在我们认为变化最快的地方放置更多的结，而在更稳定的地方放置更少的结。但是在实践中，通常以统一的方式放置结。

要清楚的是，在这种情况下，实际上有5个结，包括边界结。

那么我们应该使用多少个结？一个简单的选择是尝试许多个结，然后看哪个会产生最好的曲线。但是，更客观的方法是使用交叉验证。

与多项式回归相比，样条曲线可以显示出更稳定的效果。

平滑样条线

我们讨论了回归样条曲线，该样条曲线是通过指定一组结，生成一系列基函数，然后使用最小二乘法估计样条系数而创建的。平滑样条曲线是创建样条曲线的另一种方法。让我们回想一下，我们的目标是找到一些非常适合观察到的数据的函数，即最大限度地减少RSS。但是，如果对我们的函数没有任何限制，我们可以通过选择精确内插所有数据的函数来使RSS设为零。

选择平滑参数Lambda

同样，我们求助于交叉验证。事实证明，我们实际上可以非常有效地计算LOOCV，以平滑样条曲线，回归样条曲线和其他任意基函数。

平滑样条线通常比回归样条线更可取，因为它们通常会创建更简单的模型并具有可比的拟合度。

局部回归

局部回归涉及仅使用附近的训练观测值来计算目标点_x_ 0 处的拟合度。

可以通过各种方式执行局部回归，尤其是在涉及拟合_p_ 线性回归模型的多变量方案中尤为明显，因此某些变量可以全局拟合，而某些局部拟合。

广义加性模型

GAM模型提供了一个通用框架，可通过允许每个变量的非线性函数扩展线性模型，同时保持可加性。

具有平滑样条的GAM并不是那么简单，因为不能使用最小二乘。取而代之的是使用一种称为_反向拟合_的方法。

GAM的优缺点

优点

GAM允许将非线性函数拟合到每个预测变量，以便我们可以自动对标准线性回归会遗漏的非线性关系进行建模。我们不需要对每个变量分别尝试许多不同的转换。
非线性拟合可以潜在地对因变量_Y_做出更准确的预测。
因为模型是可加的，所以我们仍然可以检查每个预测变量对_Y_的影响，同时保持其他变量不变。

缺点

主要局限性在于该模型仅限于累加模型，因此可能会错过重要的交互作用。

范例

多项式回归和阶跃函数


1. library(ISLR)
2. attach(Wage)

我们可以轻松地使用来拟合多项式函数，然后指定多项式的变量和次数。该函数返回正交多项式的矩阵，这意味着每列是变量的变量的线性组合 age， age^2， age^3，和 age^4。如果要直接获取变量，可以指定 raw=TRUE，但这不会影响预测结果。它可用于检查所需的系数估计。


1. fit = lm(wage~poly(age, 4), data=Wage)
2. kable(coef(summary(fit)))

现在让我们创建一个ages 我们要预测的向量。最后，我们将要绘制数据和拟合的4次多项式。


1. ageLims <- range(age)
2. age.grid <- seq(from=ageLims[1], to=ageLims[2])
4. pred <- predict(fit, newdata = list(age = age.grid),
5. se=TRUE)


1. plot(age,wage,xlim=ageLims ,cex=.5,col="darkgrey")
2. lines(age.grid,pred$fit,lwd=2,col="blue")
3. matlines(age.grid,se.bands,lwd=2,col="blue",lty=3)

在这个简单的示例中，我们可以使用ANOVA检验。


2. ## Analysis of Variance Table
3. ##
4. ## Model 1: wage ~ age
5. ## Model 2: wage ~ poly(age, 2)
6. ## Model 3: wage ~ poly(age, 3)
7. ## Model 4: wage ~ poly(age, 4)
8. ## Model 5: wage ~ poly(age, 5)
9. ## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
10. ## 1 2998 5022216
11. ## 2 2997 4793430 1 228786 143.59 <2e-16 ***
12. ## 3 2996 4777674 1 15756 9.89 0.0017 **
13. ## 4 2995 4771604 1 6070 3.81 0.0510 .
14. ## 5 2994 4770322 1 1283 0.80 0.3697
15. ## ---
16. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

我们看到，_M_1 与二次模型相比，p值 _M_2 实质上为零，这表明线性拟合是不够的。因此，我们可以得出结论，二次方或三次模型可能更适合于此数据，并且偏向于简单模型。

我们也可以使用交叉验证来选择多项式次数。

在这里，我们实际上看到的最小交叉验证误差是针对4次多项式的，但是选择3次或2次模型并不会造成太大损失。接下来，我们考虑预测个人是否每年收入超过25万。

但是，概率的置信区间是不合理的，因为我们最终得到了一些负概率。为了生成置信区间，更有意义的是转换对 _数_ 预测。

绘制：


1. plot(age,I(wage>250),xlim=ageLims ,type="n",ylim=c(0,.2))
2. lines(age.grid,pfit,lwd=2, col="blue")
3. matlines(age.grid,se.bands,lwd=1,col="blue",lty=3)

逐步回归函数

在这里，我们需要拆分数据。

table(cut(age, 4))


1. ##
2. ## (17.9,33.5] (33.5,49] (49,64.5] (64.5,80.1]
3. ## 750 1399 779 72


1. fit <- lm(wage~cut(age, 4), data=Wage)
2. coef(summary(fit))


1. ## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
2. ## (Intercept) 94.158 1.476 63.790 0.000e+00
3. ## cut(age, 4)(33.5,49] 24.053 1.829 13.148 1.982e-38
4. ## cut(age, 4)(49,64.5] 23.665 2.068 11.443 1.041e-29
5. ## cut(age, 4)(64.5,80.1] 7.641 4.987 1.532 1.256e-01

`splines` 样条函数

在这里，我们将使用三次样条。

由于我们使用的是三个结的三次样条，因此生成的样条具有六个基函数。


2. ## [1] 3000 6
3. dim(bs(age, df=6))
5. ## [1] 3000 6
6. ## 25% 50% 75%
7. ## 33.75 42.00 51.00

拟合样条曲线。

我们也可以拟合平滑样条。在这里，我们拟合具有16个自由度的样条曲线，然后通过交叉验证选择样条曲线，从而产生6.8个自由度。

2. fit2$df


4. ## [1] 6.795
5. lines(fit, col='red', lwd=2)
6. lines(fit2, col='blue', lwd=1)
7. legend('topright', legend=c('16 DF', '6.8 DF'),

8. col=c('red','blue'), lty=1, lwd=2, cex=0.8)

局部回归

执行局部回归。

GAMs

现在，我们使用GAM通过年份，年龄和受教育程度的样条来预测工资。由于这只是具有多个基本函数的线性回归模型，因此我们仅使用 lm() 函数。

为了拟合更复杂的样条曲线，我们需要使用平滑样条曲线。

绘制这两个模型

year 是线性的。我们可以创建一个新模型，然后使用ANOVA检验。


2. ## Analysis of Variance Table
3. ##
4. ## Model 1: wage ~ ns(age, 5) + education
5. ## Model 2: wage ~ year + s(age, 5) + education
6. ## Model 3: wage ~ s(year, 4) + s(age, 5) + education
7. ## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
8. ## 1 2990 3712881
9. ## 2 2989 3693842 1 19040 15.4 8.9e-05 ***
10. ## 3 2986 3689770 3 4071 1.1 0.35
11. ## ---
12. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

似乎添加线性year 成分要比不添加线性成分的GAM好得多。


2. ##
3. ## Deviance Residuals:
4. ## Min 1Q Median 3Q Max
5. ## -119.43 -19.70 -3.33 14.17 213.48
6. ##
7. ## (Dispersion Parameter for gaussian family taken to be 1236)
8. ##
9. ## Null Deviance: 5222086 on 2999 degrees of freedom
10. ## Residual Deviance: 3689770 on 2986 degrees of freedom
11. ## AIC: 29888
12. ##
13. ## Number of Local Scoring Iterations: 2
14. ##
15. ## Anova for Parametric Effects
16. ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
17. ## s(year, 4) 1 27162 27162 22 2.9e-06 ***
18. ## s(age, 5) 1 195338 195338 158 < 2e-16 ***
19. ## education 4 1069726 267432 216 < 2e-16 ***
20. ## Residuals 2986 3689770 1236
21. ## ---
22. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
23. ##
24. ## Anova for Nonparametric Effects
25. ## Npar Df Npar F Pr(F)
26. ## (Intercept)
27. ## s(year, 4) 3 1.1 0.35
28. ## s(age, 5) 4 32.4 <2e-16 ***
29. ## education
30. ## ---
31. ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1