七下第5讲 三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结

写在前面

在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩一个重要模型和内外角的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留至期中复习吧．

一、三角形内外角平分线夹角模型

模型呈现： 如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系． 分析： 这是本章的最后一个重要模型，要结合整体思想，外角定理综合运用． 解答： 补充结论： 其实这个模型中，还能有许多发现，比如， ∠GBD＝90°，∠DCH＝90°， 理由是邻补角的角平分线互相垂直． ∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补， 在△DCH中，∠BDC作为外角，∠BDC＝90°＋∠BHC．

例1： 如图，O是三角形三条角平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°． 分析： 本题的关键是，发现∠2的作用，∠2可以作为△AOB的外角，即∠OAB和∠OBA的和，又是∠AOB的邻补角，∠AOB是三角形两内角平分线的夹角，因此本题既可以用一步一步完成，也可用结论模型口算． 解答：

例2： 如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______． 分析： 本题是一道将三个模型结合在一起的题目，我们要关注哪些角可以求，∠BDC是两内角平分线的夹角，则知道∠A即可求，∠E是两外角，∠MBC，∠NCB的角平分线的夹角，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内角∠EBC和外角∠ECQ的角平分线夹角，则知道∠E即可求． 解答：

例3： 分析： 解答： 综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．

二、多边形内外角计算

例1： 一个学生计算多边形的内角和，少算了一个内角，得到答案是1400°，求少算的内角的度数及多边形边数． 分析： 显然，根据多边形内角和公式(n－2)·180°，可知内角和一定是180度的倍数，我们可以用1400除以180，算出其余数，那么自然可得，少算的那个内角与余数的和一定是180度的倍数，而根据多边形每个内角必然小于180°，则这个内角度数就是用180°减去这个余数即可． 解答： 1400°÷180°＝7······140°， 180°–140°＝40°， 设多边形边数为n， (n–2)·180＝1400＋40， n＝10 答：少算的内角度数为40°，边数为10．

例2： 一个学生计算多边形的内角和，多算了一个外角，得到答案是1400°，求多算的外角的度数及多边形边数． 分析： 显然，本题是上一题的变式，方法还是用1400除以180，算出其余数，那么多算的外角度数，就是这个余数． 解答： 1400°÷180°＝7······140°， 设多边形边数为n， (n–2)·180＝1400－140， n＝9 答：多算的外角度数为140°，边数为9．

例3： 一个多边形每个内角都等于150°，求这个多边形的边数． 分析： 本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内角和公式入手，也可以逆向思维，求出每个外角的度数，用外角和除以每个外角的度数． 解答： 法1： 设多边形边数为n， (n–2)·180＝150n， n＝12 法2： 180°－150°＝30°， 360°÷30°＝12 答：多边形边数为12．

三、作图探究

例： 在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E． (1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由． (2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由． 分析： 本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，又要考虑垂足Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两小题的图汇总在一起． 解答： ①点P在线段AD上 (1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°， ∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°， ∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ， ∴∠PDE＝∠PED； (2)在四边形PQBC中， ∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180° ∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA ∴∠1＋∠2＝90° ∵∠1＋∠3＝90° ∴∠2＝∠3，PF∥BD ②点P在线段DC上 (1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°， ∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°， ∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ， ∴∠PDE＝∠PED； (2)在四边形PQBC中， ∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180° ∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA ∴∠1＋∠2＝90° ∵∠1＋∠3＝90° ∴∠2＝∠3，PF∥BD ③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上 (1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°， ∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°， ∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ， ∴∠PDE＝∠PED； (2)∵∠CPQ＋∠A＝90° ∠CBA＋∠A＝90° ∴∠CPQ＝∠CBA ∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA ∴∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝90° ∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD ④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上 (1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°， ∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°， ∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°， ∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD， ∴∠PDE＝∠PED； (2)∵∠CPQ＋∠A＝90° ∠CBA＋∠A＝90° ∴∠CPQ＝∠CBA ∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA ∴∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝90° ∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD

上讲思考题答案