初中数学：十问综合压轴题（第4问解析）

老师用文档编辑了一下题目，做成了一个PDF文档，需要的同学可以在对话界面发送“十问压轴题”获取链接，已排版，可以打印出来；

每次推送一个小问的解析方法，觉得有用的同学可以收集在自己的习题集中。

如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax²+c与y轴的交点为A，直线l：y=kx+2c与y轴交于点P，且与二次函数交于B、C两点，过点B、C分别向x轴作垂线，垂足分别为D、E，且BP=BD，点M为BC下方抛物线上一动点，

（1）求证：ac的值为定值；

（2）探究：BD·CE与DE²是否存在某种数量关系？若存在，请求出该数量关系；若不存在，请说明理由；

（3）将二次函数y=ax²+c经过平移后，得到的新二次函数对称轴为x=2，顶点为点E，且经过点A，当四边形OECP为正方形时（如图2），求出图中阴影部分的面积；

（4）当k=2、c=1时，求△MBC面积的最大值，并直接写出此时点M的坐标；

（5）在（4）条件下，过点M作y轴的平行线，交BC于点N，求线段MN的最大值；

（6）在（4）条件下，假设点Q为x轴上一动点，是否存在这样的点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（7）当c=2时，若PC=2BP，且过点C作CF⊥BC，交x轴于点F，求点F的坐标；

（8）在（7）条件下，若点G为y轴上一点，当△GBC为等腰三角形时，请直接写出符合条件的点G的坐标；

（9）若在（7）条件下，坐标系内的⊙H与BD、BC、CE均相切，求出圆心H的坐标；

（10）证明：△HBC为直角三角形恒成立；

图1

图2

图为老师在写字板上所画，由于只能全局擦除，所以有些地方很不标准没有办法更改，图2为随手又画了一个草图，两个图都可以看清楚，有强迫症的同学可以自己画一个。后面的图形老师就没有再画了，想要解题的同学就自己添上几笔吧。

提示：

（1）是到顶点的距离和到定直线的距离相等的证明，所以同学们可以慢慢想；

（2）可以利用勾股定理去证明，方法相对会比较简单，但不容易想到；

（3）不规则的阴影面积要利用割补转换的方法去思考；

（4）典型的三角形面积最大值问题；

（5）典型的截线段长度最大值问题；

（6）直角三角形存在性的情况讨论，算是压轴题中比较复杂的一种；

（7）这一问就要动点脑筋，可能很多同学想不出来方法，没事，多想想；

（8）等腰三角形存在性的情况讨论，不过点在轴上，情况比较多，算是稍微复杂点吧；

（9）这一问是老师突然想到的，放在这里比较有趣，利用九年级现有知识绝对没问题；

（10）送分题；

解析：

（4）

三个方法：①直线平移法；②分割法；③点线距离；（暂不提倡）

①直线平移法：

这个方法说过很多次，不会的同学请去翻看以前推送的动点构成三角形面积最大值直线平移法通用方法；

②分割法：

严格来说，这个方法有点提前涉及到了下一问，

那么我们就过M作y轴平行线交BC于N，

则MN将△MBC分成了两部分，

因此只要求出两个三角形的面积，然后加起来即可；

统一用MN当做底边，那么要找出高相当容易，

用坐标表示出来即可，最后合并起来刚好就是B、C的横坐标差值，

也就是说求出MN线段最长的时候就OK了，

剩下的就容易多了；

③点线距离法；

先使用平移法求出点M的坐标，

将BC当做底边，

利用点到直线的距离公式求出M到BC的距离，

然后求出三角形面积；

注：点到直线的距离公式是高中才学到的，但是可以将其转化为三角函数，但目前学校都没有学到这里，所以就当知道有这个方法吧。