初中数学竞赛:让你自己建立题干的三角形证明题

若三角形的三条边长a、b、c为整数,且一边上的高恰为另两条边上的高之和,则称这样的三角形为“玲珑三角形”,证明:

(1)存在玲珑三角形;

(2)玲珑三角形中,a²+b²+c²为完全平方数;

这类题,相信同学们在刚看到题的时候一般都会爆粗口,谁让题中连个数据都没有呢?所以,这种不含数据和图形的题目会在无形中先给大家来点压力,如果这一道坎都不想跨过去,那么还谈什么解题呢?

我们先来弄个草图,

如上图,△ABC中,AB=c,BC=c,AC=b,AD、BE、CF分别是三条边上的高,

那么我们很容易就能得到△BEC∽△ADC,

所以得到BE:AD=BC:AC,

同理CF:AD=BC:AB,

题目中说两个短高加起来等于长高,

所以BE+CF=AD,

所以BC/AC+BC/AB=1

所以,

即,

a、b、c都是整数,只要满足这个式子就说明存在玲珑三角形了,

那么很明显c=b=4,a=2时就满足条件;

所以说明存在玲珑三角形;

那么第二问a²+b²+c²是完全平方数的证明就是纯代数证明了,

这里就需要借助第一问的一个式子,

将其转化一下,

代入原式,

a²+b²+c²

可见,结果就是一个完全平方数,所以结论成立;

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