初中数学竞赛：让你自己建立题干的三角形证明题

若三角形的三条边长a、b、c为整数，且一边上的高恰为另两条边上的高之和，则称这样的三角形为“玲珑三角形”，证明：

（1）存在玲珑三角形；

（2）玲珑三角形中，a²+b²+c²为完全平方数；

这类题，相信同学们在刚看到题的时候一般都会爆粗口，谁让题中连个数据都没有呢？所以，这种不含数据和图形的题目会在无形中先给大家来点压力，如果这一道坎都不想跨过去，那么还谈什么解题呢？

我们先来弄个草图，

如上图，△ABC中，AB=c，BC=c，AC=b，AD、BE、CF分别是三条边上的高，

那么我们很容易就能得到△BEC∽△ADC，

所以得到BE：AD=BC：AC，

同理CF：AD=BC：AB，

题目中说两个短高加起来等于长高，

所以BE+CF=AD，

所以BC/AC+BC/AB=1

所以，

即，

a、b、c都是整数，只要满足这个式子就说明存在玲珑三角形了，

那么很明显c=b=4，a=2时就满足条件；

所以说明存在玲珑三角形；

那么第二问a²+b²+c²是完全平方数的证明就是纯代数证明了，

这里就需要借助第一问的一个式子，

将其转化一下，

代入原式，

a²+b²+c²

可见，结果就是一个完全平方数，所以结论成立；