关于分红再投资的收益率 我曾经在《市盈率和分红率如何影响投资收益率》一文中做了个模型，推导了分红再投资的收益率，总结出了公式，但当时没给计算过程...
我曾经在《市盈率和分红率如何影响投资收益率》一文中做了个模型，推导了分红再投资的收益率，总结出了公式，但当时没给计算过程。
今天特地把推导的步骤还原，然后解读下公式的含义。顺便引用下两个银行股的案例。以及算一算最佳分红率。
（一）模型假设
众所周知，股价=PE*EPS=PE*每股净资产*ROE。（如果不知道PE、EPS、ROE是什么的，就自己先去补一下基础知识吧……）
我们在计算投资收益率时，先不考虑市场估值的波动情况，也就是假设PE不变；为简化模型，也暂不考虑公司经营的变化，也就是假定ROE不变。（无需多讲，如果PE提升，或者ROE提升，对股价影响显然是正向的。）
另外我们也不考虑送股、转股那些花哨的不增加价值的操作。
（二）基本思路
第一年持股市值=股价1*持股数1=PE*每股净资产1*ROE*持股数1
第二年持股市值=股价2*持股数2=PE*每股净资产2*ROE*持股数2
于是我们得出：
投资收益率=（股价2*持股数2）/（股价1*持股数1）-1
=（每股净资产2*持股数2）/（每股净资产1*持股数1）-1
稍微变换下顺序：
投资收益率=（每股净资产2/每股净资产1）*（持股数2/持股数1）-1
也就是说，在PE和ROE不变的情况下，股票投资收益率就来源于两块：一是公司净资产增长，二是你的持股数增加。
（三）关于净资产增长
先来算公司的净资产增长：
第二年的每股净资产，相比第一年的变化，简单说主要有两部分，一是通过经营产生的利润流入，二是将利润分红导致的流出。
所以，每股净资产2=每股净资产1*（1+ROE）-每股净资产1*ROE*分红率
也就是说：每股净资产2/每股净资产1=1+ROE-ROE*分红率
整理一下我们得到投资收益率第一部分的来源：
每股净资产2/每股净资产1=1+ROE*（1-分红率）
（四）关于持股数增加
再来算第二部分来源，你的持股数增加：
第二年的持股数增加，就来源于第一年分红的再投资。
那么分红是多少呢？
第一年分红=每股分红1*持股数1
=EPS1*分红率*持股数1
增加多少持股呢？（简单起见，我们假设第一年分红后直接以第一年的股价买入。）
第一年增加持股数=第一年分红/股价1
=EPS1*分红率*持股数1/股价1
=分红率*持股数1/PE
所以，持股数2=持股数1+分红率*持股数1/PE
也就是说，持股数2/持股数1=1+分红率/PE
（五）得出分红再投资收益率公式
我们把两部分收益综合起来，可以得到：
投资收益率=（每股净资产2/每股净资产1）*（持股数2/持股数1）-1
=[1+ROE*（1-分红率）]*（1+分红率/PE）-1
这便是分红再投资的收益率公式了。
（六）一个案例：招商银行
举个例子：$招商银行(SH600036)$
招行的ROE，过去5年平均值是16.7%，过去10年平均19.3%，2002年上市16年以来ROE平均17.5%，我们姑且按16.7%来算。
招行的PE，我们按“年终收盘价/当年EPS”来统计，过去5年平均值是7.6倍，过去10年平均9.0倍，2002年上市16年以来平均15.9倍，我们姑且按9.0倍来算（说实话我个人认为是偏低的）。
招行的分红率，公司章程规定不低于30%，我们姑且按30%来算。
那么投资招行的收益率大致为：
收益率=[1+ROE*（1-分红率）]*（1+分红率/PE）-1
=[1+16.7%*（1-30%）]*（1+30%/9）-1
=（1+11.69%）*（1+3.33%）-1
=15.4%
也就是说，假如未来招行维持16.7%的ROE水平，市场对它维持9倍PE的估值水平，它的分红率维持30%水平，那么你长期持股、分红再投资的收益率是15.4%。
我个人认为这里的9倍PE假设是相当低估的。
（七）再一个案例：兴业银行
再举个例子：$兴业银行(SH601166)$
兴行的ROE，过去5年平均值是17.7%，过去10年平均19.7%，说实话17.7%可能还略微偏高，我们按16%来算吧。
兴行的PE，我们按“年终收盘价/当年EPS”来统计，过去5年平均值是5.9倍，过去10年平均7.0倍，说实话7.0倍实在是过低了，更不用说5.9倍，我们姑且保守一点按6倍来算，看看会如何。
兴行的分红率，公司章程规定不低于20%，我们姑且按20%来算。
那么投资兴行的收益率大致为：
收益率=[1+ROE*（1-分红率）]*（1+分红率/PE）-1
=[1+16%*（1-20%）]*（1+20%/6）-1
=（1+12.8%）*（1+3.33%）-1
=16.6%
也就是说，假如未来兴行维持16%的ROE水平，市场对它维持6倍PE的估值水平，它的分红率维持20%水平，那么你长期持股、分红再投资的收益率是16.6%。
你看，我们给兴行的ROE假设比招行低，给兴行的PE假设也比招行低，但为什么收益率却反而会更高呢？差别就在分红率和PE上。
解释是这样的：一方面，虽然给招行假设的ROE更高，但它分红多，留存的少，ROE高的优势反而被消除了。另一方面，虽然兴业的分红少，但因为PE低，再投资买入增加的持股数却不见得更少。
（八）公式的意义解读
我们稍微总结下，对这个分红再投资公式做简单解读。
1、分红再投资的收益率来源两部分，一是每股净资产的增长，二是持股数增加。
2、每股净资产的增长约等于ROE*（1-分红率），ROE越高越好，分红率越低越好。
道理也很简单，ROE越高代表公司经营效率越高；这种情况下，少分红、将利润留存给公司增厚净资产越多越好。
3、持股数的增加约等于分红率/PE，分红率越高越好，PE越低越好。
同样道理也很简单，分红钱越多可以买的股份数越多；PE越低说明估值越便宜，同等金额可以买入的股份数越多。
4、所以我们买股票，假设公司经营和市场估值都稳定的话，当然ROE越高越好，PE越低越好。
5、至于分红率，则没有绝对，它则同时每股净资产的增长和持股数的增长，但对二者的影响方向正好相反，互相制约。
从直观上来分析，分红率的最佳值受限于两个因素：一个是ROE，ROE越高，说明钱留在公司内部运营效率高，则分红率越低为好；另一个是PE，PE越低，说明分红买入股票机会越好，则分红率也应该越高为好。
矛盾当然是存在的。那么有没有最佳分红率呢？显然是有的。
（九）最佳分红率是多少？
我们现在就来算一下分红的最佳值是多少。这部分稍微难一点点，算附加部分吧。
目前为止，上面用到的都是小学数学知识。下面需要用到一点点微积分的基础，也就是导数的知识。如果没记错的话，现在高中也都有教了。
方便起见，我将分红率用字母d表示（代表英文Dividend的意思）。
ROE和PE仍然看作常数。
则收益率可以看作分红率d的一个函数：
f（d）=[1+ROE*（1-d）]*（1+d/PE）-1
认真看一下，这其实是一个一元二次的函数，我们把它展开：
f（d）=1+ROE*（1-d）+d/PE+ROE*（1-d）*d/PE-1
=ROE-ROE*d+（1/PE）*d+（ROE/PE）*d-（ROE/PE）*d^2
整理成一元二次方程的标准形式：
f（d）=（-ROE/PE）*d^2+（1+ROE-ROE*PE）/PE*d+ROE
然后我们求导：
f'（d）=（-2*ROE/PE）*d+（1+ROE-ROE*PE）/PE
因为f（d）是一条抛物线，开口向下，存在最大值。
最大值时斜率f'（d）=0。
我们令f'（d）=0，可以求解出：
d=（1+ROE-ROE*PE）/PE/（2*ROE/PE）
=（1+ROE-ROE*PE）/（2*ROE）
简化一下可以得到：
d=（1+1/ROE-PE）/2
也就是说，当d<（1+1/ROE-PE）/2时，随着d增大，收益率f（d）也增大；当d>（1+1/ROE-PE）/2时，随着d增大，收益率f（d）减小。
刚好d=（1+1/ROE-PE）/2时，f'（d）刚好为0，f（d）为最大值。
（十）值得提高分红的前提
引用上面招行的例子，算下最佳分红率d是多少。
ROE=16.7%；PE=9.0倍。
则d=（1+1/ROE-PE）/2=（1+1/0.167-9）/2=-1.0
你没看错，结果是负值。这并不代表最佳分红率应该是负的。我们都知道d的取值是0到100%。
它的正确解读是：当d>0时（这时候当然也就d>-1.0），随着d的增大，投资收益率会降低。
意思是这种情况下，越分红你的投资收益率就会越低。
那么什么时候提高分红率对投资收益率才是有帮助（正贡献）的呢？我们前面也说了，条件是d<（1+1/ROE-PE）/2。
我们再推演下，因为d隐含取值范围是0到100%，所以我们知道肯定有d≥0。
也就是说，如果提高分红率对投资收益率有帮助（正贡献），那么至少要满足的条件是：
（1+1/ROE-PE）/2>d≥0
即：PE≤1+1/ROE
这就是值得提高分红的前提。
比如ROE如果是10%，那么PE必须11倍以下，否则提高分红率就不能提高我们的投资收益率。
招行的ROE如果高达16.7%，那它的PE需要在7.0倍以下，否则提高分红率就不可能提高投资者的收益率。
但分红并不是简单的算数，而是还有其他层面的意义，我在《分红的意义》一文中有论述。大家还是要综合评估。
晨稳投资（ID：chenwen-inv）