2021捷克-斯洛伐克数学奥林匹克 中文翻译

1.如图是一个分数, 分子为个方框的和, 分母为个方框的和. 两人进行如下游戏:

在每一步中,当前玩家从集合 中选一个数填入某个空的方框中.
每个数只能用一次. 两人轮流填数, 直到所有的方框都被填满为止.
此时, 若所得分数与的差小于, 则先行动的玩家获胜, 否则, 后行动的玩家获胜. 问谁有必胜策略?

2.直角中, 为直角, 为其内心. 点分别为直线中点.
求证: 与外接圆相切.

3.非零实数满足 . 求证:

4.求所有的正整数, 使得 , 其中 , 对, 表示可以整除且小于的最大正整数.

5.如果一个字符串长度为偶数, 且它的前半段与后半段完全相同,就称这个字符串是优雅的. 例如,就是优雅的. 如果一个字符串可以被分割为若干个优雅的字符串, 就称它是好的. 例如, 可以被分割为.
一个字符串中若有两个相邻的字符完全相同, 可以通过一次操作, 将这两个相邻的相同字符去掉. 例如, 可以通过一次操作, 将变成, 再通过一次操作, 将其变为.
求证: 对任意字符串, 若其中每种字符都有偶数个, 则一定可以通过若干次操作, 将其变为好的字符串.

6.锐角中, 为其内部一个动点, 分别为关于直线的对称点. 求证: 所有的三角形有一个公共点.