九年级圆必备知识—1个思想、3大关系、7个基本概念及7大定理

就单章节来说，圆——是初中学习过的所有几何知识中内容最多、难度最大的一章，学习圆我们需要掌握以下必备知识：

1个思想：辅助圆思想

1种计算：正圆的计算

3大关系：弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系；点、直线和圆的位置关系初步；圆和圆的位置关系；

7个基本概念：圆、弦、弧、圆心角、圆周角、扇形、弓形

7大定理：垂径定理；圆周角定理；切线的性质和判定；切线长定理；弦切角定理；圆幂定理；四点共圆的判定；

这些知识当中，7个基本概念是重中之重，这些概念是推导3大关系、7大定理的基础，本文中涉及到的所有定理及其推论，希望同学们都能自己推导一下，这样你会记得更加牢固，不至于出现记忆混乱的情况。

学数学多点耐心，多点思考，再多的定理，一个个看、一个个想、总能看完；再多的步骤，一步步算，认真思考，总能看明白，同学们加油！

一、圆的基本概念

二、垂径定理

1．圆的对称性

圆是轴对称图形，也是中心对称图形，其对称轴是任意一条过原点的直线，对称中心是圆心．

2．垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

注意：垂径定理中的五个元素——“过圆心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分优弧”、“平分劣弧”，构成知二推三.

三、圆周角定理

四、弧、弦、圆心角、圆周角、弦心距之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

总结：在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角、圆周角和弦心距的关系．

1．弧、圆心角、圆周角可以转换，弧相等，则圆心角相等，圆周角相等；圆心角相等，则弧相等，圆周角相等．

2．弦和弦心距可以相互转化，弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，弦相等．

3．弧和弦不可以相互转化，弧相等，则弦相等；弦相等，弧不一定相等，因为弧对应的弦只有一条，而弦对应的弧有两条．

五、点、直线和圆的位置关系初步

1．点和圆的位置关系有三种：

点在圆上、点在圆内和点在圆外，这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定．设的半径为r，点P到圆心O的距离为d，

则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内.

2．三角形的外接圆

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．

（2）外接圆定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．

注意：

（1）外心的确定：三条垂直平分线的交点，锐角三角形的外心在它的内部；直角三角形的外心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半）；钝角三角形的外心在它的外部．

（2）外心到三个顶点的距离相等，都等于外接圆的半径．

3．直线和圆的关系有三种：相交、相切和相离．

十一、辅助圆思想

平面几何中有很多题目的背景中并没有出现圆，但是如果能够适当添加辅助圆，能让题目解起来变得十分简单，因此，辅助圆思想是学习四点共圆的基础．

十二、四点共圆的判定

两条线段被一点分成（内分或外分）两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆．

十三、正圆的计算