在这篇简短的介绍性文章中，我将带你进入一个奇异的质数世界的小旅程。这一切都始于法国一个男孩的出生，他后来成为那个时代最伟大的科学家、哲学家和数学家之一。

马林·梅森生于1588年9月8日。他是一位牧师、科学家和数学家，研究各种有趣的东西，从乐器上的振动弦到不同的数学领域。从某种意义上说，梅森在当时是一个科学标杆，与伽利略、笛卡尔、帕斯卡、皮埃尔·德·费马等科学家和哲学家通信。

他最著名的是他对某些类型的质数的研究，现在被称为梅森质数。这些质数实际上早在梅森出生前2000年就已经被研究过了，但他列出了其中一些质数的列表，这个列表变得非常有名。

人们试图证明列表上的数字是质数（有些实际上不是），这个任务令人生畏。

例如，梅森声称2^127-1是素数。1876年卢卡斯证明这是正确的。75年后才有人发现一个更大的质数，它仍然是迄今为止人工发现的最大质数。

几何和

假设我们有一个形式的和：

s(x) = 1 + x + x² + x³ + ⋅⋅⋅ x^(n-1)

这里：

质数

在继续之前，让我们定义一个梅森素数。

梅森素数是这种形式的素数， 2^n-1。

当然，不是所有这种形式的数字都是质数，但它证明了以下是正确的。

如果2^n-1是素数，那么n便是素数。

让我们用反证法证明这个命题。

如果n不是素数，那么2^n-1也不是素数。

证明：

假设n是一个合数。那么我们可以把a, b∈ℕ写成n = ab（a, b > 1）。根据上面幂和的封闭形式，我们现在有：

这就证明了定理。

这种形式的数，无论是素数还是非素数，都叫做梅森数。注意，相反的说法是不正确的。例如 2¹¹ - 1 = 23 ⋅ 89。

这个定理表明，如果我们把搜索限制在质数指数的梅森数，那么寻找大素数会更有效。然而，当指数变大时，梅森素数在梅森数中变得非常罕见。

目前已知的最大素数是梅森素数，而大素数在网络安全和密码学中起着至关重要的作用，密码学是一门信息编码和解码的科学，它的很多算法，比如RSA，很大程度上依赖于质数，因此这些数字在我们的现代社会中很重要即使梅森自己从来没有想到这一点。

梅森他不能证明是否有无限多个梅森素数，欧拉也不能。这仍然是一个悬而未决的问题。