八上第22讲 一次函数行程类问题大汇总

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【八上数学】 一次函数图像之行程专题

写在前面

一次函数的行程问题,一直是一个难点,笔者2年前,曾经写过一些【八上数学】 一次函数图像之行程专题,本讲,通过6道题,再来和同学们一起感受两人同向追及问题,两人相向而行相遇问题,单人往返问题,两人背向而行再返回问题等经典问题!

例1:同向而行有先后

甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发2秒.在跑步过程中,甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示,给出以下结论:①a=8;②b=92;③c=123.其中正确的是__________.

分析:

首先关注坐标系横轴,纵轴的实际意义,横轴表示乙出发的时间,纵轴表示甲、乙两人的距离.

图像与y轴交点(0,8),表示乙出发时,两人相距8米,而甲先出发2秒,则可求甲的速度;之后两人之间的距离在减少,说明乙的速度较快,在追甲.而乙在追上并超过甲之后,两人之间的距离越来越大,100秒时,距离最大,说明此时乙已经跑完全程休息了.

根据100秒跑完总路程500米,可求乙的速度;进而求得两人速度差,从而用之前的路程差,8米除以速度差,可知几秒时乙追上甲,a的值可求.

追上甲后,乙跑的时间是(100-a)秒,乘上速度差,即可知100秒时两人之间的距离,b的值可求,此时两人的距离也是甲离终点的距离,也可用总路程减去甲102秒跑过的路程.

用b除以甲的速度,加上100秒,即为c的值;也可用全程500米除以甲的速度,减去甲先出发所用的2秒,求得c的值.

解答:

下面是各时段两人位置的线段图.

例2:同向而行有先后,速度变

周末,甲从家出发前往与家相距100千米的旅游景点旅游,以10千米/时的速度步行1小时后,改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发,乙在甲前面40千米处,在甲出发3小时后开车追赶甲,两人同时到达目的地.设甲,乙两人离甲家的距离y (千米)与甲出发的时间x (小时)之间的函数关系如图所示.

(1)求乙的速度;

(2)求甲出发多长时间后两人第一次相遇;

(3)求甲出发几小时后两人相距12千米.

分析:

首先关注坐标系横轴,纵轴的实际意义,横轴表示甲出发的时间,纵轴表示甲,乙两人离甲家的距离.

(1)要求乙的速度,显然要先求出甲走完全程的时间,则用100千米减去前1小时步行的路程,可求出骑自行车的车程,再除以骑自行车的速度,加上之前的1小时,就是全程时间.减去乙等待的3个小时,就可以求出乙行驶全程的时间,进而求出乙的速度;

(2)相遇,即表示两条分段函数的图像相交,从图像可以看出,线段AB与CD相交时,乙仍停在原地,用待定系数法求出线段AB的解析式,当y=40时,求出此时x的值即可;

(3)相距12千米,即同一时刻,函数值之差为12,分别求出线段AB、BD的解析式,在图像中,

解答:

下面是各时段两人位置的线段图.

例3:单人行程有往返

小明从家出发,沿一条直道跑步,经过一段时间原路返回,刚好在第16min回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm/min,离家的距离为sm,v与t之间的函数关系如图所示

(图中的空心圈表示不包含这一点).

(1)小明出发第2min时离家的距离为________m;

(2)画出s与t之间的函数图象;

(3)求各时段s与t之间的函数表达式.

分析:

首先关注坐标系横轴,纵轴的实际意义,横轴表示小明出发的时间,纵轴表示出发后每个时间段的速度.

(1)根据路程=速度×时间,很简单;

(2)我们需要求出小明出发后,走了多少路程之后开始返回.把16分钟走过的总路程算出,除以2,即可知从家出发到目的地的路程,显然第五分钟时,还未返回,用出发走的全程减去五分钟走的路程,除以5分钟后的速度,再加上5分钟,即可知道出发多少分钟后开始返回,从而可以画出函数图像.

(3)可以利用各临界点坐标,用待定系数法求,也可用行程问题的方法解,这里选择后者,需要知道的是,速度就是解析式中的k.

解答:

下面是各时段小明位置的线段图.

例4:相向而行

甲、乙两人分别从A,B两地同时出发,匀速相向而行.甲的速度大于乙的速度,甲到达B地后,乙继续前行.设出发xh后,两人相距ykm,图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系.

根据图中信息,求:

(1)点Q的坐标,并说明它的实际意义;

(2)甲、乙两人的速度.

(3)点M、N的坐标,并说明它们的实际意义;

分析:

首先关注坐标系横轴,纵轴的实际意义,横轴表示两人出发的时间,纵轴表示甲、乙两人之间的距离.

显然,甲乙两地距离为10km,点Q表示两人距离为0,则两人相遇,求出PQ段一次函数的解析式,令y=0,即可求出相遇时的时刻.

相遇之后,两人背向而行,距离逐渐拉大,显然,点M表示此刻速度较快的甲到了B地,两人之间的距离就是乙出发走过的距离,点N表示乙到了A地,两人之间的距离又变为10km.

要求两人的速度,可先根据从出发到相遇所用时间,算出速度和,再根据甲走完全程的时间,算出甲的速度.

也可利用甲从相遇到到达B地所用时间走过的路程,与乙出发到相遇所用时间走过的路程相等来求.

而M、N的坐标也不难求,M点显然表示甲走到了B地,乙和甲的距离即为乙所走过的路程,即此时他与B地间的距离.

N点表示乙走到了A地,时间只需用总路程除以乙的速度即可.

解答:

下面是各时段两人位置的线段图.

例5:相向而行有先后

分析:

解答:

下面是各时段两人位置的线段图.

例6:背向而行有先后

甲、乙两山地自行车选手进行骑行训练.他们在同地出发,反向而行,分别前往A地和B地.甲先出发一分钟且先到达A地.两人到达目的地后均以原速按原路立即返回,直至两人相遇.下图是两人之间的距离y(千米)随乙出发时间x(分钟)之间的变化图象.

请根据图象解决下列问题:

(1)直接写出甲车和乙车的速度.

(2)在图中的两个括号内填上正确的数值.

(3)乙车出发多长时间两车首次相距22.6千米?

分析:

首先关注坐标系横轴,纵轴的实际意义,横轴表示乙出发的时间,纵轴表示甲、乙两人的距离.

(1)第一个点的坐标是(0,0.6),根据题意,甲先出发一分钟,走了0.6km,可求出甲的速度,之后,两人之间的距离在增大,说明两人在背向运动,30分钟后,距离变为33.6km,则可求出30分钟,两人共行驶33km,乙车速度也可求.

(2)通过计算可知,甲速度更快,则第30分钟时,甲到了A地,乙还未到B地,甲开始返回时,由于速度更快,此时两人是同向运动,相当于甲追乙,所以两人之间的距离逐渐减小.第36分钟,乙到了B地,则第30分钟到36分钟的6分钟内,用33.6减去两人的路程差,即可求括号内未知的纵坐标.36分钟后,两人相向而行,用表示两人之间距离的纵坐标的值,除以甲与乙的速度之和,即可知道两人相向而行所需时间,加上36,即可求出括号内未知的横坐标;

(3)可用方程思想,两人行驶路程之和加0.6即为22.6,也可求出第一段函数对应的解析式,再令y=22.6求解.

解答:

下面是各时段两人位置的线段图.

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