八上第22讲一次函数行程类问题大汇总 / 开普饭

写在前面

一次函数的行程问题，一直是一个难点，笔者2年前，曾经写过一些【八上数学】一次函数图像之行程专题，本讲，通过6道题，再来和同学们一起感受两人同向追及问题，两人相向而行相遇问题，单人往返问题，两人背向而行再返回问题等经典问题！

例1：同向而行有先后

甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间t(秒)之间的关系如图所示，给出以下结论：①a＝8；②b＝92；③c＝123．其中正确的是__________．

分析：

首先关注坐标系横轴，纵轴的实际意义，横轴表示乙出发的时间，纵轴表示甲、乙两人的距离．

图像与y轴交点(0，8)，表示乙出发时，两人相距8米，而甲先出发2秒，则可求甲的速度；之后两人之间的距离在减少，说明乙的速度较快，在追甲．而乙在追上并超过甲之后，两人之间的距离越来越大，100秒时，距离最大，说明此时乙已经跑完全程休息了．

根据100秒跑完总路程500米，可求乙的速度；进而求得两人速度差，从而用之前的路程差，8米除以速度差，可知几秒时乙追上甲，a的值可求．

追上甲后，乙跑的时间是(100－a)秒，乘上速度差，即可知100秒时两人之间的距离，b的值可求，此时两人的距离也是甲离终点的距离，也可用总路程减去甲102秒跑过的路程．

用b除以甲的速度，加上100秒，即为c的值；也可用全程500米除以甲的速度，减去甲先出发所用的2秒，求得c的值．

解答：

下面是各时段两人位置的线段图．

例2：同向而行有先后，速度变

周末，甲从家出发前往与家相距100千米的旅游景点旅游，以10千米/时的速度步行1小时后，改骑自行车以30千米/时的速度继续向目的地出发，乙在甲前面40千米处，在甲出发3小时后开车追赶甲，两人同时到达目的地．设甲，乙两人离甲家的距离y (千米)与甲出发的时间x (小时)之间的函数关系如图所示．

(1)求乙的速度；

(2)求甲出发多长时间后两人第一次相遇；

(3)求甲出发几小时后两人相距12千米．

分析：

首先关注坐标系横轴，纵轴的实际意义，横轴表示甲出发的时间，纵轴表示甲，乙两人离甲家的距离．

(1)要求乙的速度，显然要先求出甲走完全程的时间，则用100千米减去前1小时步行的路程，可求出骑自行车的车程，再除以骑自行车的速度，加上之前的1小时，就是全程时间．减去乙等待的3个小时，就可以求出乙行驶全程的时间，进而求出乙的速度；

(2)相遇，即表示两条分段函数的图像相交，从图像可以看出，线段AB与CD相交时，乙仍停在原地，用待定系数法求出线段AB的解析式，当y＝40时，求出此时x的值即可；

(3)相距12千米，即同一时刻，函数值之差为12，分别求出线段AB、BD的解析式，在图像中，

解答：

下面是各时段两人位置的线段图．

例3：单人行程有往返

小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示

(图中的空心圈表示不包含这一点)．

(1)小明出发第2min时离家的距离为________m；

(2)画出s与t之间的函数图象；

(3)求各时段s与t之间的函数表达式．

分析：

首先关注坐标系横轴，纵轴的实际意义，横轴表示小明出发的时间，纵轴表示出发后每个时间段的速度．

(1)根据路程＝速度×时间，很简单；

(2)我们需要求出小明出发后，走了多少路程之后开始返回．把16分钟走过的总路程算出，除以2，即可知从家出发到目的地的路程，显然第五分钟时，还未返回，用出发走的全程减去五分钟走的路程，除以5分钟后的速度，再加上5分钟，即可知道出发多少分钟后开始返回，从而可以画出函数图像．

(3)可以利用各临界点坐标，用待定系数法求，也可用行程问题的方法解，这里选择后者，需要知道的是，速度就是解析式中的k．

解答：

背

下面是各时段小明位置的线段图．

例4：相向而行

甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，匀速相向而行．甲的速度大于乙的速度，甲到达B地后，乙继续前行．设出发xh后，两人相距ykm，图中折线表示从两人出发至乙到达A地的过程中y与x之间的函数关系．

根据图中信息，求：

(1)点Q的坐标，并说明它的实际意义；

(2)甲、乙两人的速度．

(3)点M、N的坐标，并说明它们的实际意义；

分析：

首先关注坐标系横轴，纵轴的实际意义，横轴表示两人出发的时间，纵轴表示甲、乙两人之间的距离．

显然，甲乙两地距离为10km，点Q表示两人距离为0，则两人相遇，求出PQ段一次函数的解析式，令y＝0，即可求出相遇时的时刻．

相遇之后，两人背向而行，距离逐渐拉大，显然，点M表示此刻速度较快的甲到了B地，两人之间的距离就是乙出发走过的距离，点N表示乙到了A地，两人之间的距离又变为10km．

要求两人的速度，可先根据从出发到相遇所用时间，算出速度和，再根据甲走完全程的时间，算出甲的速度．

也可利用甲从相遇到到达B地所用时间走过的路程，与乙出发到相遇所用时间走过的路程相等来求．

而M、N的坐标也不难求，M点显然表示甲走到了B地，乙和甲的距离即为乙所走过的路程，即此时他与B地间的距离．

N点表示乙走到了A地，时间只需用总路程除以乙的速度即可．

解答：

下面是各时段两人位置的线段图．

例5：相向而行有先后

分析：

解答：

下面是各时段两人位置的线段图．

例6：背向而行有先后

甲、乙两山地自行车选手进行骑行训练．他们在同地出发，反向而行，分别前往A地和B地．甲先出发一分钟且先到达A地．两人到达目的地后均以原速按原路立即返回，直至两人相遇．下图是两人之间的距离y(千米)随乙出发时间x(分钟)之间的变化图象．

请根据图象解决下列问题：

(1)直接写出甲车和乙车的速度．

(2)在图中的两个括号内填上正确的数值．

(3)乙车出发多长时间两车首次相距22.6千米?

分析：

首先关注坐标系横轴，纵轴的实际意义，横轴表示乙出发的时间，纵轴表示甲、乙两人的距离．

(1)第一个点的坐标是(0，0.6)，根据题意，甲先出发一分钟，走了0.6km，可求出甲的速度，之后，两人之间的距离在增大，说明两人在背向运动，30分钟后，距离变为33.6km，则可求出30分钟，两人共行驶33km，乙车速度也可求．

(2)通过计算可知，甲速度更快，则第30分钟时，甲到了A地，乙还未到B地，甲开始返回时，由于速度更快，此时两人是同向运动，相当于甲追乙，所以两人之间的距离逐渐减小．第36分钟，乙到了B地，则第30分钟到36分钟的6分钟内，用33.6减去两人的路程差，即可求括号内未知的纵坐标．36分钟后，两人相向而行，用表示两人之间距离的纵坐标的值，除以甲与乙的速度之和，即可知道两人相向而行所需时间，加上36，即可求出括号内未知的横坐标；

(3)可用方程思想，两人行驶路程之和加0.6即为22.6，也可求出第一段函数对应的解析式，再令y＝22.6求解．

解答：

下面是各时段两人位置的线段图．

八上第22讲 一次函数行程类问题大汇总

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