四边形与三角形中的最值问题

老师说：解决该题时要去找出点E的轨迹是什么，点E和点C’的运动关系是怎样的。

因为点E是中点，那我们再取AB边的中点F,连接EF构造中位线，从而可知EF＝1，CF=√2，从而可知点E的轨迹是以F点为圆心，1为半径的圆上运动，从而易求CE最大值为CF+EF=√2+1.(下图👇👇）

看下动图：👇👇

或者向外构造中位线也可👇👇：这时CE＝1/2C'F，只需求出CF'的最大值即可。

这时C'F最大值＝AF+AC'=2√2+2，因此CE最大值为√2+1.

老师说：“该题如果用”瓜豆“去找点E的轨迹很容易，但是很多学生肯定会懵逼，什么是“瓜豆？”。因此我们另辟蹊径，看见等腰直角三角形后我们可以构造全等进行转化👇👇

在AC上截取CF=BC，则△CFD≌△CBE，则BE=FD，因此只需求FD最小值即可，显然FD⊥AB时，FD最小，易求FD=√3-1

老师说：'由折叠可知，BE=B'E=2，所以点B'的轨迹可知是以点E为圆心，2为半径的圆上（部分弧上）运动👇👇。

从而可知当D，E，B'三点共线时B'D最小👇

老师说：连接CP，可知CP长度是定值2，因此点P轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆上运动。👇👇

简解：易知PM最大值=PC+CM=3

简证：易证△ABP≌△BFC

∴∠P=90°

取AB的中点H，连接PH，则PH=1

作CM关于CD对称点CG，连接NG，则MN+PN=NG+PN👇👇

易知：HP+PN+NG≥HG,       则PN+NG≥HG-HP≥√10-1👇👇

李磊数学

初中数学老师一枚，专注数学提分技巧，愿做您身边的教育顾问，与您分享交流教育心德。

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