中考数学压轴题分析：线段和最大值

很多同学总是嫌弃旧的中考真题，一看到2013、2014甚至更早的，就不想看。但是纵观15年以来的全国中考真题，其实变化并不大。

本文内容选自2020年黔西南的中考数学压轴题，涉及两线段和的最大值。看似比较少见，实则在2015年福州市的中考压轴题中出现过。不仅有线段和最大值，而且当时还有线段乘积的最大值。下面情况。

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【中考真题】

（2020·黔西南州）已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点是抛物线上位于直线上方的动点，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点，，当取最大值时，求点的坐标；
（3）如图（2），点为抛物线对称轴上一点，点为抛物线上一点，当直线垂直平分的边时，求点的坐标．

【分析】
题（1）求解析式，则直接代入求解；

题（2）求的是PD+PE的最大值，发现△PDE为等腰直角三角形，那么就需要表示出PD或PE，然后利用二次多项式的性质得到最大值即可。可以配方，也可以利用二次函数的顶点坐标公式；

题（3）使得AC垂直平分MN，实则M与N关于AC对称。根据轴对称的性质，假设AC与抛物线的对称轴交于一点F，连接MF与NF，易得△MNF为等腰直角三角形，且NF平行于x轴，那么点N的纵坐标就等于点F的纵坐标了。本题的关键点在于AC与x轴的夹角为45°，所以比较特殊。

【答案】解：（1）抛物线经过点，，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的解析式为，顶点坐标为，；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为，
，
，
，
，
，
，
平行于轴，平行于轴，
，，
，
，
，
，
当的长度最大时，取最大值，
，，
直线的解析式为，
设，$-t+6)(0<t<6)$，则$p(t,-t^{2}+5t+6)$，
，
当时，最大，此时，，
；
</t<6)$，则$p(t,-t^{2}+5t+6)$，

（3）如图（2），设直线与抛物线的对称轴的交点为，连接，

点在线段的垂直平分线上，
，，
轴，
，
，
轴，
由（2）知，直线的解析式为，
当时，，

，，
点的纵坐标为，
设的坐标为，
，解得，或，
点的坐标为，或，．