【数学】干货丨高中数学导数知识总结 导数七大题型答题技巧！

【高中数学】

知识总结

一. 导数概念的引入

1.  导数的物理意义：

瞬时速率。一般的，函数y=f(x)在x=

处的瞬时变化率是

2.  导数的几何意义：

曲线的切线，当点

趋近于P时，直线 PT 与曲线相切。容易知道，割线的斜率是

当点

趋近于 P 时，函数y=f(x)在x=

处的导数就是切线PT的斜率k，即

3.  导函数：

当x变化时，

便是x的一个函数，我们称它为f（x）的导函数. y=f（x）的导函数有时也记作

，即

二. 导数的计算

基本初等函数的导数公式：

导数的运算法则：

复合函数求导 ：

y=f(u)和u=g(x)，则称y可以表示成为x的函数，即y=f(g(x))为一个复合函数。

三、导数在研究函数中的应用

1.  函数的单调性与导数：

一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内

(1) 如果

＞0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递增；

(2) 如果

＜0，那么函数y=f(x)在这个区间单调递减；

2.  函数的极值与导数：

极值反映的是函数在某一点附近的大小情况。

求函数y=f(x)的极值的方法有：

（1）如果在

附近的左侧

＞0 ，右侧

＜0，那么

是极大值；

（2）如果在附近的左侧

＜0 ，右侧

＞0，那么

是极小值；

3.  函数的最大(小)值与导数： 

求函数y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤：

（1）求函数y=f(x)在［a,b］内的极值；

（2） 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。

四.  推理与证明

（1）合情推理与类比推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理。

根据两类不同事物之间具有某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理。

类比推理的一般步骤：

(1)   找出两类事物的相似性或一致性；

(2)   用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题（猜想）；

(3)   一般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的；

(4)   一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠。

（2）演绎推理（俗称三段论）

由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理。

（3）数学归纳法

1.   它是一个递推的数学论证方法。

2.   步骤：

A. 命题在 n=1（或

）时成立，这是递推的基础；

B.假设在 n=k 时命题成立；

C. 证明 n=k+1 时命题也成立。

完成这两步，就可以断定对任何自然数（或n≥

，且n∈N）结论都成立。

证明方法：1、 反证法；2、分析法；3、综合法。

五.  导数中的数学思想

数形结合思想

数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方法．它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果．数形结合思想贯穿于中学数学的始终，在许多知识板块中都有它的身影．数形结合思想以其直观性、灵活性等特点倍受解题者的衷爱．本文举例说明数形结合的思想在求解导数问题中的灵活运用．

例 已知函数

，当

时取得极大值，当

时取得极小值，求点

对应的区域的面积以及

的取值范围．

分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图象与相应二次方程的根的关系得到关于

的线性不等关系，点

所对应的区域．第（2）问利用斜率求出

的取值范围．

解：函数

的导数为

，当

时取得极大值，当

时取得极小值，则方程

有两个根，一个根在区间

内，另一个根在区间（1，2）内．

由二次函数

的图象与方程

的根的分布之间的关系可以得到

平面内满足约束条件的点

所对应的区域为

（不包括边界，其中点

，

，

如右图所示）．

的面积为

（

为点

到

轴的距离）

点

与点

连线的斜率为

，显然

，即

．

整体代换思想

我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题的途径，这种思想称之为整体思想．整体思想主要有整体代换、整体求值、整体变形、整体构造等．这种思想若运用巧妙，不仅可以简化运算，而且能够激发学生思维的灵活性．本文仅举一例来说明整体代换思想在求解导数问题时的应用．

例 已知

是定义在

上的函数，其图象交

轴于

三点．若点

的坐标为

，且

在

和

上有相同的单调性，在

和

上有相反的单调性．

（1）求

的值；

（2）在函数

的图象上是否存在一点

，使得

在点

的切线斜率为

？

（3）求

的取值范围．

解：（1）∵

在

和

上有相反的单调性，

∴

是

的一个极值点．

故

，即

有一个解为

，

∴

．

（2）因为

交

轴于点

，所以

，即

．

令

，得

，

∴

，

．

因为

在

和

上有相反的单调性，

所以

_，

得

．

假设存在点

，使得

在点

的切线斜率为

．

则

，

即

．

∵

．

而

，

．

故不存在点

，使得

在点

的切线斜率为

．

（3）由题意，设

的函数图象交

轴于点

的坐标为

、点

的坐标为

．

则

，

比较系数得

．得

．

所以

_，

，

，

∵

，∴当

时，

；当

时，

．故

．

解后反思：本题的第（2）、（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求

的值，大大简化了运算．运用整体思想解题是不是很巧妙？这种整体思想在其它知识板块中都有广泛的应用，在以后的学习中可要留心哟．

分类讨论思想

分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要有一种全局的观点，注意在分类时要不重不漏．

例1 已知

，求

的单调区间．

解：函数

的导数

_.

（1）当

时，若

，则

；若

，则

．

则

在

内为减函数，在

内为增函数．

（2）当

时，由

或

，

则

在

或

内为增函数，在

内为减函数．

（3）当

时，由

，

则

在

内为增函数，在

和

内为减函数．

从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理解给定区间上

函数为增函数，

函数为减函数．但要确定

的符号，须对参数进行分类讨论．

例2 已知

，

．

（1）求函数

的最大值．

（2）设

，证明：

．

解：（1）

的定义域是

，则

_.

当

时，

；

当

时，

．

又

，则当且仅当

时，

取最大值0．

（2）因

，设

．

则

．

当

时，

，

因此

在

内为减函数；

当

时，

，

因此

在

内为增函数．

从而当

时，

有极小值

．

又因

，

，

所以

，即

．

设

，

则

_,

当

时，

，

在

上为减函数．

因为

，

，所以

，

即

．

所证结论成立．

该题属于典型利用导数证明其不等式的问题，一般方法是：先构造函数（多是作差函数），再用导数确定所构造函数的单调性来证明．在证明的过程中难免要分类处理，否则难以确定新函数的正负．

解题技巧

在考试过程中，很多高中生由于没有掌握适用的解题技巧，尤其是对相关的知识点掌握不够牢固的同学，只能放弃，下面为大家总结了导数七大题型，帮助大家在高考数学中多拿一分， 轻松拿下140+！

1 导数单调性、极值、最值的直接应用

2 交点与根的分布

3 不等式证明

（一）做差证明不等式

（二）变形构造函数证明不等式

（三）替换构造不等式证明不等式

4 不等式恒成立求字母范围

（一）恒成立之最值的直接应用

（二）恒成立之分离参数

（三）恒成立之讨论字母范围

5 函数与导数性质的综合运用

6 导数应用题

7 导数结合三角函数