小教研｜从函数单调性到抽象不等式
终于算是开学了。
这个假期，好像过得还挺充实。
当然，只是生活上的。
原本计划着，假期能认真的写几篇东西，可却还是因为假期，而没有成形。
作为新年第一篇，就接着节前的最后一篇，再讲个单调性的应用吧。
其实，说到单调性的应用，试题中的呈现，主要也仅两种情形：
①利用单调性处理不等式
③利用单调性求函数最值
函数的最值问题，相信是大家最为熟悉的。
而且自从有了导数，在求值域时，我们似乎又有了更多的勇气。
但是，对于单调性的处理，可能就会让部分同学头疼了。
尤其是，经常出现的抽象不等式，往往会让人望而却步的。
但其实，理论知识还是很简单的，依然要从单调性的定义上去理解。
其实，通俗点说单调性，就是：
“自变量越大，函数值越大”即为递增，
“自变量越大，函数值越小”即为递减。
那么反之，对于一个单调递增函数，函数值越大，自变量当然也一定是越大的。
这个，我们一般称为单调性的性质。
对于增函数，函数值越大，自变量越大；
对于减函数，函数值越大，自变量越小。
一个定义，一个性质。
其实，就组成了单调性考查的全部。
这种题型，是不是很熟悉？
如果你是高一新生，是不是觉得还很难了呢？
在高一函数这一章里，这种应该算是个典型题了吧。
当然，对高一新生来说，这也一定是个稍难点的题了。
但真的是常见的。
我们都知道，函数的求值，只须将自变量代入解析式即可的。
可是，抽象函数，没有解析式，怎么求值？
方法是唯一的，那就只能用赋值法了。
赋值法，并没有特定的思路，只能是根据式子特征，凭感觉了。
但抽象函数求值必用赋值法，一定是当年，老师们一再强调的一个共识。
第二问，本质就是判断函数单调性了。
其实单调性的判断，方法还是比较丰富的。
就我所知，最常见的就有三种：
①图像法：
如果你能够很快做出函数图像，建议就从图像观察，根据图像的走势，很容易就能得出单调性或单调区间了。
②定义法：
如果不能做出函数图像，那就开始考虑用单调性定义进行判断。当然，如果是复合函数的话，是一定要考虑复合法则的。
③导数法：
如果因为式子的复杂，用定义判断单调性，并不能轻易地比较大小，这时就应该考虑导数了。
因为只有导数，才能算是单调性判断的万能方法。
第三问才算是说到今天的重点。
抽象不等式的解法，在试题中，真的是常见的。
具体的不等式，像二次、分式、绝对值，甚至高次和超越不等式，一定都是没问题的吧。
但抽象不等式，连个具体的式子都没有啊，怎么去解！
但按照数学解题的常规经验，如果真的要解一个抽象不等式，当然是应该想办法，将之转化为一个具体的不等式了。
哪怕式子复杂点，都比那个抽象的样子好的吧。
如何将抽象不等式转化为具体不等式，目前的方法，主要就是利用单调性的性质了。
就象是上面的第三问，有了单调性，解决起来，过程还算是比较流畅的。
下面就按这样的思路，通过一些小题，体会一下单调性的这种应用。
从以上各题的思路可以看出，解决类似的抽象不等式，最终须将其变形为具体不等式，并通过单调性进行求解。
过程中，主要应考虑以下两个要点：
①根据代数式结构特征，构造函数；
②判断函数单调性和奇偶性；
当然，熟悉常规的构造形式，也是必须的。
最后，留一个模拟题，供意犹未尽的娃们练练手。