学会用严谨的数学语言去描述数学问题

数学语言对高中生而言感到困难，如何使这些“字”、“词”有着比日常用语更精确的意思，亦困恼着初学者。但使用这些特别符号和专有术语是有其原因的：数学需要比日常用语更多的精确性。数学家将此对语言及逻辑精确性的要求称为“严谨”。

严谨是数学很重要且基本的一部分。数学家希望他们的定理以系统化的推理依着公理被推论下去。这是为了避免依着不可靠的直观，从而得出错误的“定理”或'证明'。

纵观数学发展史，数学对世界的描述也是从直观思维逐步达到严格的逻辑思维。如微积分，在牛顿的时代，所使用的方法则较不严谨。牛顿为了解决问题所作的定义，到了十九世纪才让数学家用严谨的分析及正式的证明妥善处理。

再看我们教材对数学问题的描述也是这样一个渐进的过程。如函数单调性，在初中刚接触函数时并没有提出函数单调性，而是从函数图象上直观观察到函数值随自变量增大时的变化。这种借助图像的直观观察说的结论的不可靠性大都初中生是不会质疑，但事实上我们看到的图像只能是局部，据此得到的直观结论必定是不可靠的。如图能说函数f(x)在x>0时函数值随x增大而增大？！

所以，到了高中教材就给出了函数单调性的严格定义。因此，高中数学的学习要求学生理解严谨的数学语言，学会用严谨的数学语言去描述数学问题。这就是数学的核心素养之一，也是高考考查的重要考点之一。

例如2017上海秋季高考第21题：

这是一道讨论抽象函数性质的问题，解决此类问题的一般要用到所谓的“定义法”。第1小题是一个具体函数，只要理解题设条件②的含义——类似教材增函数的定义，但不是增函数，我们不妨叫它“不减函数”。紧扣住②就容易得解。第2问，实质是要证明“不减”的周期函数必定是常值函数。看似显而易见问题对于没有严谨的逻辑思维的学生来说往往就会无从下手，同学会说这还要证明吗！第3问的充分性易得，但是其必要性就难了。它要证明的是一个恒正的且有最大值的周期函数和一个“不减”函数的积函数是周期函数，那么这个不减函数一定是常值函数。我们利用g(x)的最大点，由于g、h都是周期函数就很容易直观想象：不减函数f是常值函数，但要把这个想法严谨的用数学语言表达出来就不是件容易的事了。所以在平时的学习过程中要学会死磕那些直观上显见的结论，另外正确理解常用的数学语言，学会用严谨的数学语言去描述数学问题就显得尤为重要了。

解答：