学术纵横| 数学与物理学
数学与物理学从来就是一对孪生兄弟，可靠的数学工具是物理学家研究的一大助力，物理学发展的现实需要也不断刺激着数学的发展。
数学与物理学包括力学的关系源远流长。数学的大部分内容，包括微积分在内，基本上是在与物理学和力学的联系中发展的。物理学家处理的问题，从数学的角度看往往是极其有趣、困难和富有挑战性的。因此，寻求这些问题的客案及其解决方法一直是数学的活力的来源，这一点连孤傲的“纯粹”数学家哈代也赞同，他甚至把麦克斯韦、爱因斯坦等人都视为数学家。
早在17世纪，牛顿就是数学与物理、力学紧密结合的化身。牛顿发明微积分具有明显的运动学背景，其“流数(fluxion,即导数)概念就是以速度为原型的。反过来，微积分成为牛顿解决天文力学问题的有力武器。特别是在《自然哲学的数学原理》书中，牛顿借助微积分证明了在与到引力中心的距离平方成反比的引力作用下，被吸引天体必沿椭圆轨道运行，而引力中心在其一个焦点上(当初始速度足够大时,物体也可能沿其他圆锥曲线——抛物线或双曲线——运动)。事实上，牛顿使全部开普勒的行星运动经验定律变成为严密的数学推论，在世人面前打开了本地道用数学语言写成的宇宙之书。18世纪的数学家们继续谱写着这本宇宙之书，到19世纪，这本书的内容扩充到了电学和电磁学，而进入20世纪以后，随着物理学的发展，数学相继在应用于相对论量子力学以及基本粒子理论等方面取得了一个又一个突破。
行星轨道
在狭义相对论和广义相对论的创立过程中，数学都建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基(H·Minkowski, 1864~ 1909)提出“闵可夫斯基空间”。即将时间和空间融合在一起的四维时空。闵可夫斯基几何为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。1912年夏，他已经概括出新的引力理论的基本物理原理，但为了实现广义相对论的目标，还必须寻求理论的数学结构，一个很重要的要求是使引力定律在坐标变换下保持不变(即所谓协变)。爱因斯坦为此徘徊彷徨了3年时间，最后在他的大学同学数学家格罗斯曼(M·Grossman)介绍下学习掌握了意大利数学家勒维奇维塔等在黎曼几何基础上发展起来的绝对微分学，亦即爱因斯坦后来所称的张量分析，并很快发现这正是建立广义相对论引力理论的合适的数学工具。在1915年11月25日发表的一篇论文中，爱因斯坦终于导出了广义协变的引力方程：
（是黎曼度规张量）
爱因斯坦指出，“由于这组方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成”。广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了，而这个金顶依靠的恰恰是数学。
后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道:“在几年独立的科学研究之后,我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是爱因斯坦自己的话是作为一个科学家的深切体会。
爱因斯坦
根据爱因斯坦的引力场方程从数学上推导出来的结论，有一些后来被实验证实了，例如光线在引力场中的弯曲行为(1919年一次日全食过程中观察到的星光弯曲曾轰动世界)。按照爱因斯坦理论，空间是弯曲的，上列方程中的未知量是度规张量gμv，空间的形式是靠这个张量来描述的，一旦知道了空间的物质分布，从理论上就可解出这些度规张量，这个空间的形式也就知道了。按照微分几何学，一般情况下解出的空间曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空间有弯曲，但是空间弯曲的理论在爱因斯坦以前数学家们就已经创造出来了，那就是在19世纪初叶高斯和俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家波约等人创立并经黎曼等人发展的非欧几何学。高斯曾称这种几何为“星空几何”，罗巴切夫斯基也坚信自己发现的新几何总有一天“可以像别的物理规律一样用实验来检验”，爱因斯坦的广义相对论恰恰揭示了非欧几何的现实意义，成为历史上数学应用最精彩的例子之一。
爱因斯坦的广义相对论后来又有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果。最突出的如英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并据而发展了宇宙大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣。霍金于2002年国际数学家大会期间在中国北京、杭州等地做通俗报告讲解他的宇宙理论，可以说在当时公众中引起了一场不小的数学热。
20世纪数学应用与物理学的另一项经典成果是量子力学数学基础的确立。我们知道，20世纪初,普朗克、爱因斯坦和玻尔等创立了量子力学，但到1925年为止，还没有一种量子理论能以统一的结构来概括这一领域已经积累的知识，当时的量子力学可以说是本质上相互独立的，有时甚至相互矛盾的部分的混合体。1925年有了重要进展，由海森堡建立的矩阵力学和由薛定谔发展的波动力学形成了两大量子理论，而进一步将这两大理论融合为统一的体系，便成为当时科学界的当务之急。恰恰在这时，数学又起了意想不到但却是决定性的作用。1927年，希尔伯特和冯·诺伊曼等合作发表了论文《论量子力学基础》，开始了用积分方程等分析工具来统一量子力学的努力。在随后两年中，冯·诺伊曼又进一步利用他从希尔伯特关于积分方程的工作中提炼出来的抽象希尔伯特空间理论，去解决量子力学的特征值问题并最终将希尔伯特的谱理论推广到量子力学中经常出现的无界算子情形，从而奠定了量子力学的严格的数学基础。1932年，冯·诺伊曼发表了总结性著作《量子力学的数学基础》，完成了量子力学的公理化。
现在越来越清楚，希尔伯特20世纪初关于积分方程的工作以及由此发展起来的无穷维空间理论，确实是量子力学的非常合适的数学工具，量子力学的奠基人之一海森堡后来说：“量子力学的数学方法原来就是希尔伯特积分方程理论的直接应用，这真是一件特别幸运的事情！”而希尔伯特本人则深有感触地回顾道：“无穷多个变量的理论研究，完全是出于纯粹数学的兴趣,我甚至管这理论叫谱分析,当时根本没有预料到它后来会在实际的物理光谱理论中获得应用”。
微观粒子
抽象的数学成果最终成为其他科学新理论的仿佛是事先定做的工具，在20世纪下半叶又演出了精彩的一幕，这就是大范围微分几何在统一场论中的应用。广义相对论的发展，逐渐促使科学家们去寻求电磁场与引力场的统一表述，这方面第一个大胆的尝试是数学家外尔在1918年提出的规范场理论，外尔自己称之为“规范不变几何”。统一场论的探索后来又扩展到基本粒子间的强相互作用和弱相互作用。1954年,物理学家杨振宁和米尔斯(R·L·Mills)提出“杨-米尔斯理论”，揭示了规范不变性可能是所有四种(电磁、引力、强、弱)相互作用的共性,开辟了用规范场论来统一自然界这四种相互作用的新途径。数学家们很快就注意杨-米尔斯理论所需要的数学工具早已存在，物理规范实际上就是微分几何中纤维丛上的联络，20世纪三四十年代以来已经得到深入的研究。不仅如此，人们还发现规范场的杨-米尔斯方程是一组在数学上有重要意义的非线性偏微分方程1975年以来，对杨米尔斯方程的研究取得了许多重要结果。
这里值得一提的是，对微分几何纤维丛理论作出重大贡献的数学家中，恰恰也有一位华裔学者，他就是现代微分几何大师陈省身。早在1943~1944年在普林斯顿高等研究所作研究员时，陈省身就在微分几何领域解决了当时“最重要和最困难”的问题——给出了高斯-博内公式一个新的内蕴证明，进而发现了“陈示性类”,将微分几何带人了一个新纪元。当杨振宁1954年发表关于规范场的研究结果时，杨和陈先后几个时期都生活在同一城市，又是好友，时常讨论各自的工作，开始却都没有意识到他们的工作相互间有密切的关系。20世纪60年代未期，杨振宁察觉到物理学中的规范场强度和数学中的黎曼几何曲率有极密切的关系。经过一番努力，他终于弄明白了微分几何的纤维丛和其上的“联络”等基本概念，并分析出麦克斯韦理论和非阿贝尔规范场论与纤维丛的关系，读懂了陈省身韦伊定理。杨振宁说他在搞清楚这个深奥美妙的定理后，真有一种触电的感觉，忽然间领悟到，客观的宇宙奥秘与纯粹按优美这一价值观发展出来的数学观念竟然完全吻合。他在一次纪念爱因斯坦诞生百周年的会议上讲道：
“在1975年，明白了规范场和纤维丛理论的关系之后，我开车到陈省身教授在伯克利附近的艾尔塞雷托(EL Cerrito)寓所。我们谈了许久，谈到朋友、亲人以及中国，当话题转到纤维丛时，我告诉陈教授，我终于从西蒙斯那里明白了纤维丛理论和陈省身-韦伊定理的美妙。我说，物理学的规范场正好是纤维丛上的联络，而后者是在不涉及物理世界的情况下发展出来的，这实在令我惊异。我还加了一句：'这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家是凭空梦想出这些概念，’他当时马上提出异议:'不，不。这些概念不是梦想出来的。它们是自然的，也是实在的。’”
杨振宁
另一位诺贝尔物理学奖获得者温伯格(S·Weinberg)也曾惊叹过数学与物理的巧合，他认为这是不可思议的：当一物理学家得到一种思想时，然后却发现在他之前数学家已经发现了，他举的一个典型的例子是关于群论的。
温伯格
群论是19世纪早期法国天才数学家E.伽罗瓦发明的，目的是解决任意多项式方程的根式可解性问题。历史上当2次方程及顺次而来的3次方程，4次方程成功地用根式解出后，数学家们曾坚定地相信5次方程也能类似地求解。两个世纪后,J·拉格朗日才首先意识到这是不可能的；又过了半个世纪，N·阿贝尔证明了一般的5次方程不可能用根式求解。那么，什么样的方程才能用根式来求解呢？伽罗瓦完满地回答了这问题。他用群的概念来刻画根的置换对称性。伽罗瓦的置换群后被发展为一般的抽象群，这是数学中最深刻、影响最深远的概念之一。特别是，物理学家们发现群论正是他们所需要的描述一般对称性的精确语言：空间平移不变直接导出粒子的动量守恒，转动对称性则导出角动量守恒，而能量守恒则是时间平移不变的结果，对称性维持着自然世界的秩序，群的重大意义就不言而喻了。事实上，早在19世纪末,群论已被用于晶体结构的研究。到了20世纪，群论更出人意料地成为研究基本粒子的法宝。然而正如以上所看到的，伽罗瓦当初的动机完全是数学内部的，如今他的发明却不仅深入到数学的每个领域，而且已成为自然科学许多分支中的非常适用的语言。