合肥中考一模：数学压轴题

考点：三角函数、相似三角形、勾股定理、中点问题

如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB，点P在AD边上，连接BP，过点D作BP的垂线交BP的延长线于点E，连接BD

(1)连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F

①若PD/PA=1/2，求sin∠DBE的值。

②求证：DE=2BF

分析：①设：AB=x，AD=2x

则：PD=2x/3，PA=4x/3

Rt△ABD中：BD²=AB²+AD²

∴BD=√5x

Rt△PAB中：PB²=PA²+AB²

∴PB=5x/3

易证：△PDE～△PBA

∴DE/AB=PD/PB

∴DE=2x/5

∴sin∠DBE=DE/BD=2x/5:√5x=2√5/25。

②易证：△ADE～△ABF

∴DE/BF=AD/AB=2

∴DE=2BF

(2)如图2，在BE的延长线上取一点G，连接DG，若∠GDE=∠ADB，取BG中点M，连接AM，求证：AM=1/2(BE−GE)

分析：构造图1相似，连接AE，过点A作AF⊥AE交BE于点F

易证△DEG～△DAB

∴DE/GE=AD/AB=2

∴DE=2GE①

易证：△ADE～△ABF

∴DE/BF=AD/AB=2

∴DE=2BF②

∴BF=GE

∵点M为BG中点

∴MG=MB

∴ME=MF

∴点M为EF中点

∴AM=1/2EF==1/2(BE−BF)

=1/2(BE−GE)。