2021法语数学奥林匹克 中文翻译

初级组

1.已知定义如下:

求证: .

2.埃瓦里斯特画了个三角形, 如下图所示,其中相邻的两个三角形恰有一条公共边.

索菲用红, 绿, 蓝三种颜色对这些三角形的边进行涂色, 每条边用一种颜色进行涂色. 在索菲可能采用的 种涂色方法里, 有多少种方法, 可以保证任意一个三角形的三边所涂颜色互不相同?

3.平面上的所有点都被染成了红色或蓝色之一. 证明以下结论至少有一个成立:
存在两个距离为的红点;
存在四个蓝点, , , , 满足对任意 , , 点 和 的距离为 .

4.设 表示正整数集. 求所有函数, 使得对任意正整数, 均有

注: 分别表示正整数的最大公约数和最小公倍数.

高级组

1.已知数列 与 满足, 对任意, 均有. 已知存在无穷多个正整数, 使得整除.
求证: 存在整数, 使得对任意 , 均有

2.桌子上有个石头, 甲乙两人用这些石头玩游戏, 规则如下:
从甲先开始, 双方轮流从桌子上拿走若干石头, 且能拿走的石头个数的最大值为当前回合数.
例如, 刚开始时, 甲可以拿走一个石头, 随后进入第二回合, 此时乙可以拿走或个石头,随后进入第三回合, 此时甲可以拿走到个石头,依次类推;
拿走最后一个石头的玩家失败, 另外一个玩家获胜. 那么, 谁有必胜策略?

3.正方形的内切圆为.已知为线段中点. 在线段上任取一点. 过作 平行线与再次交于点. 直线交于点. 证明: 直线与相切.

4.设 表示正整数集. 求所有函数, 使得对任意正整数, 均有
, 若为互异的奇素数, 则 整除 .