【初三必读】怎样提升数学思考的维度？

要想避免思考的痛苦，必须经历更多的思考。要想提升思考的效率，必须提升思考的层次。

低维度难以解决的问题要从高维度入手才能有效解决。

例如，两个平行的平面上各有一个点，从二维平面的角度来看，从一个点到另一个点是永远无法到达的，但是提升到三维空间的层次来看，两点之间很容易建立通道直接到达。

再比如，你在灯光下投影在地面上，要改变影子的形状必须改变灯的位置或改变人的位置，在影子处纠结是毫无作用的。

人的成长也是如此，决定一个人的进步发展和业绩表现的原因有多个维度。

最高维度是价值观，包括人的品质、态度、信念、追求。

中级维度是方法论，包括人的思维方式、行动策略。

低级维度是知识经验，包括所掌握的概念、规则、原理、模型。

当一个问题在低维度不能解决时，需要在高维度进行思考，寻求更为本源的解决方案，而非头痛医头，脚痛医脚。如果你的知识掌握不好，应用能力不强，要思考你的思维方式和行动策略有没有问题，甚至追究态度够不够端正，信念够不够坚定，思想够不够开放，目标够不够大气。

再看数学学科的解题思维同样如此，可以分为多个维度。

高级维度：解决一切问题的基本原则。

中级维度：解决数学问题的一般策略、解决一类问题的常用方法。

低级维度：解决具体问题的特定模型。

高维能力对低维能力有统率指导作用，低维能力为高维能力提供支撑和原料。

笔者对各层次的思维策略总结如下：

一、解决一切问题的基本原则

1．观察联想

2．猜测推理

3．可视化

4．简单化

二、解决数学问题的一般策略

1．定变分析

2．方程解析

3．设参列式

4．完形构造

三、解决一类问题的常用方法

1．归纳应用

2．轨迹定位

3．化折为直

4．改斜归正

5．移花接木

6．运动变换

四、解决具体问题的特定模型

1．旋转问题（一转成双·手拉手）

2．翻折问题（轴对称）

3．一线三等角（K形图）

4．中点问题

5．双直角问题

6．角平分线

7．动点路径

8．几何最值

9．函数最值

10．共边相似

11．等线含半角

12．四点共圆

13．函数与图形

解题时如果发现具体可用的特定模型则直接使用，如果不能发现，则应用此类问题的常用方法或解决数学问题的一般策略，若仍不能解决，再退回到解决问题的基本原则，寻求新的解题思路或创造合适的解决方案。

例.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=√5，∠EAF=45°，则AF的长为　       ．

思维过程要根据情况在各个维度切换：

（1）具体模型维度：图中条件没有与所求线段AF相关的可用模型。

（2）方法策略维度：题中条件“∠EAF=45°”无法有效利用，因而需用“完形构造法”构造辅助图形。由于矩形的相关边长已知，可使用“改斜归正”策略。

（3）基本原则维度：由条件“∠EAF=45°”联想到等腰直角三角形，推测构造含AF或已知线段的等腰直角三角形。

（4）具体模型维度：以AE或AF为一边构造等腰直角三角形，根据“改斜归正”策略，进而构造“一线三等角”全等模型，同时产生相似三角形建立关系求得相关数量。

如下两图所示可用两种常规构造方法：

解题时应该在各个维度之间反复应用扫描，从整体到细节，从抽象到具体，直至问题解决。

再如下题：AB是半圆O的直径，AC是弦，AD平分∠BAC。

（1）若延长AC、BD交于点E，试判断ΔABE的形状。

（2）若AB=10cm，AC=6cm，则AD的长为              。

图1

图2

此题在一次考试中作为试题出现时，因图形画得接近等边三角形，大批学生仅凭感觉将ΔABE判断为等边三角形，AD的长度也极少学生能够正确解出。其实稍一下“定变分析”就可以判断它不能确定是等边三角形，因为由主干条件中可知∠CAB的角度是变量而不是定值。另外，从第（2）问的计算也可以发现ΔABE三边不相等。解决第（2）问时对常用方法的选择及灵活构造数学模型的能力也很欠缺。

正是由于学生的思维高度不够，所以导致他们的判断力和对思维方向的把握能力不足，可见培养和训练学生的多维思考能力和高阶思维能力尤为重要！

思维有策略，解题自轻松，思考多维度，方向自明朗！