初二奥数精讲——第9讲 含字母系数的方程（一）

一、知识点解析

1. 基本知识

方程中的未知数是用字母表示的，如果方程中除了表示未知数的字母外还含有其他字母，则这些字母表示相关未知数的系数，这样的方程称为含有字母系数的方程。

在解含有字母系数的方程时，常常要对含有字母的式子进行运算，这就对含有字母的式子的取值有一些特殊的要求。比如除法，当含有字母的式子作除数时，其值不能为零，这就出现了对字母系数取值的讨论。一般地说，若作除法的式子的取值不为零，则可按通常的解方程的程序求解。若作除数的式子的取值为零，则相应的除法不能进行，此时，使作除数的式子的取值为零的字母取值只有有限个，可对每一个这样的取值分别代入方程求解。

特别需要指出的是，对于含有字母系数的方程，如果没有明确规定字母的取值范围，则无法断定它是几元几次方程。因此，这样的方程通常都要先讨论字母的取值以确定方程的类型。

对于方程（并不一定是一元一次方程）ax = b（其中a、b为常数），其解的情况如下：

当a≠0时，方程有唯一的解x=b/a.

当a=0，但a=0，但b≠0时，方程无解。

当a=b=0时，方程有无数个解。

2. 基本问题

（1）解关于字母系数的方程：将字母系数看作常数，按通常的方法解方程，但以含有字母的式子为分母作除法时，要讨论其式子的值是否为零。

（2）讨论含有字母系数的方程在什么条件下有解：直接解方程，再讨论什么条件下其解存在。

（3）已知含有字母系数的方程有解或无解，求参数的取值范围：先求出其“形式解”，再讨论什么条件下此解存在或不存在。

（4）讨论含有字母系数的方程的解的个数：直接解方程，再讨论有多少个不同解。注意“不同的解”并不是指“解”的变化范围，因为含有字母系数的方程的解是用字母系数表示时，它是随字母系数的变化而变化的。

这部分主要考察学生的对含字母系数的方程的了解及掌握。是方程部分的综合应用，这部分题型种类繁多，要在扎实的基础知识基础上，认真学习，多加练习，让我们在例题和解答中一起学习吧。

二、例题

例1

分析：隐含的条件，m、n≠0。

解答：

例2

若关于x的方程

的惟一解是x=0，那么字母系数a，b之间的关系是什么？

分析：用方程解的定义求解。

解答：

例3

若关于x的方程

的解是负数，求k的取值范围。

例4

设a为整数，且关于x的方程

的解是自然数，求a的值。

例5

已知关于x的方程：

有解，求实数a的变化范围。