中考数学压轴题分析：瓜豆模型与胡不归问题

本文内容选自2021年重庆市中考数学压轴题（B卷），仍然以中点为关键条件，构造辅助线进行求值与证明．

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【中考真题】

（2021·重庆）在等边中，，，垂足为，点为边上一点，点为直线上一点，连接．
（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．
①如图1，当点与点重合，且的延长线过点时，连接，求线段的长；

②如图2，点不与点，重合，的延长线交边于点，连接，求证：；

（2）如图3，当点为中点时，点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出的面积．

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【分析】

（1）求线段长，构造直角三角形进行求解即可．

①如下图，作垂线，求出GH与DH的长即可．

②如下图，过点D作CG的垂线，求出DH与GH即可．

（2）遇到线段和差，则考虑进行截长补短．

①如图，点F先往两边作垂线，得到全等．再在BC上截取B'H =BE，根据SAS证明全等，进而得到△BFB'为等腰三角形，结论易得．

②在AB上分别截取BH′=BH，B'H'=BE，进而得到△EFH'与△BFB'均为等腰三角形，结论得证．

③还可以过点E作AB的垂线交BD于点P，取BP的中点N，再过点H作HM⊥BC．易得BN=EP=√3/2BE，NF=GP=MH=1√3/2BH，然后结论易得．

（3）由于点F为动点，且在直线上运动，而△EFP的形状始终保持不变，那么点P的运动轨迹也是在直线上．这个问题是瓜豆模型．

遇到NP+1/2MP这种类型的，可以通过点P的运动轨迹，确定问题的类型，本题为胡不归问题，构造直角三角形，利用三角函数进行转化即可．

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【答案】

解：（1）①过作于，如图：

线段绕点逆时针旋转得到线段，点与点重合，且的延长线过点，
，，
是等边三角形，
，，
等边，，，
，，，
，
，
，
，
中，，
，
中，，，
，
，
中，；
②过作交于，过作交于，连接，作中点，连接，如图：

绕点逆时针旋转得到线段，
是等边三角形，
，，，
是等边三角形，
，
，
、、、共圆，
，
而是等边三角形，，
，即，
，
，
①，
，，
，，
，
、、、共圆，
，
，，
，
②，
而③，
由①②③得，
，
，中点，，
，
，
，
中，，
，
，即，
中，，
中，，
，
；
（2）以为顶点，为一边，作，交于，过作于，设交于，如图：

中，，
最小即是最小，此时、、共线，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
在射线上运动，则在射线上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，
，
，
，
，
，
，
，
，
而，
，
四边形是矩形，
，
边中，，，
，
又，
，
等边中，，点为中点时，点为中点，
，，
中，，，
，，
中，，
，
．

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【模型总结】

①对角互补模型

如图，EF=HF，且∠EBH+∠EFH=180°，则可以进行旋转或者截长补短，构造一个与△EFH相似的等腰三角形．

②瓜豆原理

如图，△ABC的形状始终不变，点A为定点，点B的运动轨迹与点C的运动以及相似．根据相似可以证明结论．

③胡不归问题

如图，遇到求AD+k·BD型的最值问题时，可以考虑构造一个∠CBE，使得sin∠CBE=k．

如图，过点D作BE的垂线，当点A，D，E三点共线时结论可得．