配对常识让中学生也能一下子认识5000年都无人能识的无穷大自然数

        配对常识让中学生也能一下子认识5000年都无人能识的无穷大自然数

  黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

[摘要]医学若将前所未知的“新冠”病毒误为已熟知的流感病毒，后果...；初等数学将前所未知的各数列（集）误为已熟知的数列（集）N=｛0，1，2，...，n，...｝就使康脱推出错上加错的更重大错误：N可～其真子集。数（点）集最起码常识凸显沿本身平移前、后的直线必不重合从而揭示几何科普知识:“有无穷多个公共点的直线必重合”其实是肉眼直观错觉。自然数科普知识:“没有与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数”。然而中学生也一看就懂的配对常识让5000年都无人能识的标准无穷大自然数一下子浮出水面推翻百年集论和百年自然数公理。证明了应有几何科普知识:至少有两元点的图A平移非0距离变为B（≌A）≠A且B不可⊂A，因B必有元点在A外。此知识让2500年都无人能识的“更无理”的>（<）R一切正数的R外标准无穷大（小）正数及其倒数一下子浮出水面。

[关键词]用而不知的R外“更无理”标准实数推翻“R轴各点与各标准实数一一对应理”；将无穷多各异假N(R轴)误为N(R轴)；伟大数学家欧拉、莱布尼茨；搞错一次函数的值域

党中央非常重视科普工作。面向广大群众和青少年的科普书若有以讹传讹的重大错误则其危害性是极其重大的。百年集论在数学中的地位相当于百年相对论在物理学中的地位。李醒民等编科普书《10个震撼人心的科学发现》中百年集论名列各重大发现之首。有科普书将百年集论誉为是“人类最伟大的创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993）。然而科普短文《中学数学几百年重大错误：将两异数列误为同一数列——百年病态集论的症结》（见深圳科普网）及短文中的参考文献指出集论是极荒唐谬论，所以“最伟大创造”其实是以讹传讹；集论是统治数学王国的国王，短文将这国王“拉下马”了。因N⊂R故短文说的N外标准自然数必在“实数集”R外，但“R含一切标准实数”是百年权威定论，而短文未能多侧面、多角度、多证据地证明“R含一切...”不成立。所以相对来说短文有极重大缺陷，本科普文是对短文的重大补充。教（读）书的科普知识：须去伪存真地读书，教（学）而不思是师生的大敌；只会照本宣科当传声筒的人不是真正的教师；教学，首先要教人学习钟南山院士敢于实事求是坚持真理的崇高品德。

1.有过人科学洞察力的数学大师欧拉、莱布尼茨洞察到客观存在无穷小、大数但一直只有感性认识

数学史表明没无穷数就没高等数学，正如没数学就没物理学一样。“欧拉毫不犹豫地承认无穷小的数和无穷大的数都是客观存在的，并且如此纯熟地应用这些概念…^[1]”。莱布尼茨:“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的^[2]。”百年极限论之前的二千多年数学一直“非法”使用无穷大、小数进行计算推理从而取得一系列辉煌成就（“实践是检验真理的标准”），但对这类未能引进但又一直使用的“黑数”一直无力实现由感性认识到理性认识的飞跃而一直解不开为何“用'不存在’的'数’进行推理计算竟能使欧拉、莱布尼茨及数学得到一系列正确结果”谜团，正如西医无法解开：人体“不存在”经络系统，但经千百年实践检验的中医的经络学说却为何行之极有效这一谜团一样。伟大科学家的太伟大实践往往要超前理论千百年。经千百年实践检验的中医学因还处于理论上还说不清的唯象论阶段故有人说其是伪科学，因不能从理论的高度上来说清楚存在无穷小、大数使标准分析否定存在这类数。本文证明标准分析一直在使用R外标准无穷小、大正数，只不过一直将其误为∈R罢了，正如群众将便衣警察误为非警察一样；没这些“非警察”(标准无穷小、大正数) 就没社会的平安（没标准分析），不使用这类名亡实存的R外数连计算圆周长的公式是怎么来的也不能从数的高度上来说清楚。

对无穷数列N⁺=｛1，2，3，...，n，...｝，科普书[3]有：“直截了当地假定下面的事实：...。从1开始，沿着后继者的路线，每次数一个，任何一个整数都可以经过有限次数到。”（注！这只是个假定而并非不可推翻的“金科玉律”）。这无异于说自然数n并非多得写不完。也许不少相关编书者都能感到“事实”非常别扭：谁能将N⁺的数由小到大全都写出来？故都没将其编入书而代之以：各n都是有穷数。自识自然数5000多年来数学一直未能证明存在与1相隔无穷多个自然数的标准无穷大自然数及其倒数，从而否定存在这类数，正如西医否定人体存在经络系统那样。

2.配对常识让5000年都无人能识的无穷大自然数一下子浮出水面——看图识破百年“骗术”：“部分可=全部”

设集A=｛x｝表A各元均由x代表，相应变量x的变域是A；F=｛（x，y）｝表F是由有序数偶（x，y）组成的数偶集，J=｛（x，y），z｝表A是由数偶和“单身”数z组成的混合集。其余类推。同一字母x可代表各不同的数，同样，为简便起见本文中同一字母（例A）在此场合代表某集，在彼场合可代表另一集，其余类推。变数n取自然数。挖去“自然数集”N=｛n≥0｝的0得N⁺=｛n≥1｝⊂N。R所有非负元x≥0组成R⁺。R⊃N各元x均有对应标准数x+1、2x、xⁿ（n≥2）等等。

本文将序列的首项编为第0号项。数列{a_n}各数a_n有序号数n与之配对而均在第n号位。各点按规定进入各指定位置才能形成一点集。R轴即x轴各点x都在位置x内而与该位x结成对子（点x，位置x），挖去R轴一个点x就留下一个“洞”（空心点）：“单身”的位置x。故R轴是元为对子的对子集，而有洞直线是有“单身”元的混合集，挖去R轴一切点x就留下一个空“洞”（空心点）集～R。可用○表示“洞”即表示R轴上点的位置。元为对子的对子集（对子序列）F={ⓞ，①，②，... ⓝ，…}（可看成是配对图，F中数列是N。）中ⓝ表示n在第n号洞内而与该洞配对成F～N的第n个对子，“无穷旅馆”F中的“房间”○和数已一一配对。挖去F一个数0就使F变为既有对子元又有单身洞元的混合集G={○①②③...}，“拆东补西”地让一数n离开原位前去与○配对成新对子ⓝ的同时必生一新单身洞○在新对子的后面，故G中○与数无论怎样重新配对后都保持有一单身洞○使G不能成为对子集。拆东补西不能使混合集变为对子集这一配对常识表明G各数前移改与其左邻的○配对成新对子得{①②③...○}还是混合集而必有单身的第Ω号洞在各新对子的后面，Ω显然是N最大元（而与1相隔无穷多个自然数∈N）。所以自有函数和无穷数列（集）概念几百年来数学一直认定的“N各元n的对应数n+1、2n、…均∈N”是极幼稚的落后认识。其实y=n+1>n=0，1，2，...（数列N）一目了然地显示y可>N一切数n而取N外数。发现Ω说明N的任何真子集的元都必少于N的元。详论见[4][5]。

注：若给数列A增项则必使A变为B≠A，所以不断增项（元）的数列（集）是不断变化的非固定数列（集）。由小到大取值且变域为区间[0,1]⊂R的x取至1后就无数可取了，即其取数过程是有完有了的，虽然0与1之间有无穷多个数；人不能遍取无穷集内一切数≠变量x不能。无穷小x→0中的x代表数。取正数的正无穷小1/n（n→∞）可＜“任意给定”的正数ε而又总>0说明有正数1/n＜ε。分形几何中由一等边△变成的柯赫雪花闭折线L是无穷多角（边）形而由无穷多无穷短的直线段(短至其长度可＜ε而又>0)连接而成（在放大足够大倍的思维显微镜下可知L由无穷多无穷小的去底等边△连接而成），一动点P从L的一条边b₁处出发沿L“轨道”作“不回头”地运动，最后必能回到b₁处说明L所有边b₁、b₂、b₃、......可排为首项为边b₁（其一端点是原△的一个顶点）的无穷序列，而显然其有末项；因点P从b₁处出发运动依次到b₂处到b₃处到...，最后必能回到b₁处。注：直线段b₁的两个端点中的一个端点同时也是b₂的端点，b₂两个端点中一点同时也是b₃的端点，...，所以可将锯齿状的L各条边之间的连接点一个个地排列出来。

可见“没标准无穷大自然数”这一中学科普“常识”其实是5000年不倒的极顽固错误碉堡，但在“配对”常识面前此碉堡不堪一击。人类认识自然数后的5000年里一直无人能识无穷大自然数Ω及Ω±1等使数学一直将N外标准自然数误为N内数。详论见[5]。

设上图F（序列）中一○只容一数，F的ⓝ内n“一变二”地变为两个数：偶数2n和奇数2n+1时有一个数就要“溢”出使ⓝ裂变为2n（应有圆圈将2n圈在圆圈内）和2n+1两个项，从而使F变为混合序列M（新配对图）={ⓞ，1；②，3；④，5；…；...}（奇数2n+1都在○外）。这“一变二”的变换使M包含的数二倍于F包含的数且M包含F一切数从而使M中○和数不可一一配对。这形象地说明M一切数组成的集{2n、2n+1}的元多于N的元，N远不可包含一切标准自然数。5000年不识Ω使初等数学一直搞错了定义域均为N的无穷多函数y=n+1、y=2n+1、y=2n（或=2n+2）、...、y=n²、...的值域。配对图F和M使中学生也能推断：N仅是标准自然数全体的沧海一粟。注：Ω²无穷大倍于Ω，...。将沧海一粟误为沧海本身显然是极重大错误。发现Ω说明自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多假N误为N。详论见[4][5]。

N各元n的后继y=n+1的全体是H=｛y=n+1｝（～N）有最大元Ω+1在N外说明H不⊂N。所以流传几百年使世人深信不疑的中学函数“常识”：“定义域为N的y=n+1的值域H={n+1≥1}（～N）=N⁺={n≥1}，｛0｝∪H=N”其实是重大错误，这使康脱推出康健离脱的病态“定理”：N～N⁺⊂N。

设集A=｛x、y｝=｛x｝∪｛y｝=U∪V表A各元均由x或y代表，相应变量x（y）的变域是U（V），其余类推。本文中的集合均至少有两元。定义：若数集A可保距变为B则称A≌B。显然A≌A。可将本文中关于图形的论述全部去掉（即可没点与点集概念）而不作任何几何解释地仅凭数（数组）集相等、≌的定义证明两集是否相等是否≌。

天体力学中的地球可是质点。与x∈R相异（等）的实数均可表为y=x+δ（增量δ可=0也可≠0），此x变换为实数y=x+δ的几何意义可是：一维空间“管道”g内R轴上的质点x∈R(x是点的坐标)运动到新的位置y=x+δ还在管道g内即实数的改变可形象化为g内质点的位置的改变。R可形象化为R轴, R各数x可形象化为R轴各点，变数可形象化为g内动点。

“无界”的曲、直线互不≌从而更不相等。数学图形可是离散的点的点集。“无界”的“整数点集”Z(可看成是“虚直线”：.......)各元点x=±n（n∈N）∈R轴不保距平移变为点x+δ=2x=±2n组成｛±2n｝不≌Z从而更≠Z。中学的“图A≌A”说明A变为B=A≌A不一定是恒等变换但一定是保距变换。

h定理1：数（点）集A=B的必要条件是A≌B。

证：A=B必可恒等变换地变为B=A≌A，而恒等变换是保距变换，所以B=A的必要条件是B≌A。注：若点集B=A≌A则B与A大小与形状都相同即B≌A。证毕。

x变为两数：x和x+1>x是x变大了的变换。保距变换的特点之一：一个点（数）只能变为一个点（数）。点集A=｛1，2，3｝（各数是数轴上点的坐标）各元点x=n（=1，2，3）变为两个点：n和n+1>n形成｛1，2；2，3；3，4｝不≌A从而更≠A；A各元点n变为两个点：2n>n和2n+1>2n形成｛2，3；4，5；6，7｝不≌A；...。如[4]所述“无界”的N=｛n｝各元n变为两个偶数2n和2n+2形成｛2n｝∪｛2n+2｝不≌N从而更不≠N。集随元的变换而变换。一群小鸡组成的集A各鸡都变大为大鸡组成的集B不能还是由小鸡组成的A了。同样，一数集A各数x全都变大（小）为y>（<）x组成的B=｛y｝≠A即A各数全都变大（小）后形成的集不能还是原集A了（否则是不合逻辑的），亦即A不可恒等变换地变为B=A——中学应有的h逻辑学起码常识。在保序变大变换：x↔5x（>x>0）中显然当且仅当5变为1时才是恒等变换；...。人有逻辑推理的能力。组成整体的个体都变大必使整体随之变（大）为新的整体的例子：Z=｛±n｝一切偶数±n=±2p（p=0，1，2，...）组成“无界”的D=｛±2p｝各偶数±2p都变大为±2p+1（奇数）组成的｛±2p+1｝≠D。

点集N(可看成是“虚射线”：........)⊂x轴各元点x=n保距平移变为点x+δ=y=n+1组成H=｛y=n+1｝≌N，即图N沿x轴平移变成H≠N。如[4]所述N=｛n｝各点n“一变二”地变为两个点n、y=n+1>n生成J={n、n+1}=｛n｝∪｛y=n+1｝=N∪H，这“一变二”（即用两个点替换一个点）不是保距变换使J不≌N（这变换等价于图N先平移成H≌N，然后H与N 合并成J。），据h定理1J≠N。包含N的J=N∪H≠N说明J必至少有一元y∈H在N外，这N外的y=y₀=n₀+1>n₀∈N显然>N一切数n，式中n₀=Ω显然是N最大元，因其后继y₀=Ω+1在N外。

N各元n变为两个数：n、2n生成F={n、2n}=｛n｝∪｛2n｝不≌N，据h定理1 F≠N。包含N 的F≠N说明F必至少有一偶数元2n∈｛2n｝在N外而>N一切数n。N各元n变为两个数：2n、2n+1生成N′={2n、2n+1}=｛2n｝∪｛2n+1｝不≌N，据h定理1N′≠N。所以N′是似是而非的假N。N各n变为3个数：3n、3n+1、3n+2得N″={0，1，2；3，4，5；…；3n，3n+1，3n+2；...}不≌N，据h定理1N″≠N。……。由此可见自有无穷数列概念几百年来数学一直将无穷多假N误为N。详论见[4]。同理，R=｛x｝各元x变为两个数：x、y=x+a（a=0.0001≈0）>x生成包含R的F={x、y=x+a}=R∪｛y=x+a｝不≌R中必至少有一元x+a>x∈R在R外而>R一切元x；...。人类认识无理数后的2500年里一直无人能识此“更无理”的>R一切元的R外标准无穷大实数使数学有下述几百年函数“常识s”：R各元x的对应数x+a的全体是R。

注：“点x变为还在管道g内的两个点：x、y=x”其实是点x变回自己的恒等变换；“N各数n（=2p、2p+1）变为两个数：n=2p、n=2p+1”其实是n变回自己；......。

3.图A≌A让中学生也能一下子认识5000（2500）年都无人能识的N(R)外标准自然数（实数）——图说数集最起码常识凸显沿本身平移前、后的直线必不重合

数集最起码常识：若A（B）各元x（y）有与之对应相等的元y（x）∈B（A）即A各元与B各元可一一对应相等：x↔y=x（恒等对应）则称A=B；若可一一对应近似相等则A≈B。本文最关键论据之一：若A与B是同一集则A必可（不是“只可”）恒等变换地变为B=A；在平移变换中当且仅当平移的距离ρ=0时才是恒等变换，若ρ≈0则是近似恒等变换。

a=0.0001≈0,R各元x保距变为y=x+a≈x+0组成｛y｝（y的值域）的几何意义是R轴各元点x沿管道g保距平移变为点x+δ=y=x+a组成元为点y的y=x+a轴即R轴沿轴平移变为y=x+a轴叠压在x轴上。中学数学认定y轴=x轴（自有函数和无穷集概念几百年来数学一直有函数“常识s”：R各元x的对应数x+a的全体是R即一次函数y=x+a的值域=R），因有直线公理。其实这是肉眼直观错觉。x轴的射线R⁺:x≥0沿轴平移变为射线B：x+a≥0+a≈0，R⁺≈B的原因是平移的距离≈0使R⁺各元x与B各元x+a≈x+0一一对应近似相等。同样前述x轴各元x与y=x+a轴各元y=x+a≈x一一对应近似相等：x↔x+a≈x使y轴≈x轴。各x变为y=x（y≈x）是恒等（近似恒等）变换；因“≈”与“=”不能同时成立故x轴近似恒等变换地变为y=x+a（≈x）轴≠x轴，即R各元x与各对应x+a不可一一对应相等。在平移运动中显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换。其实“对R从小到大一个不漏的每一（一切）元x都有对应数y=x+a>x”明确表示有数y（∈y=x+a轴）>R一切数x而不可与R任何元x对应相等。关键是连文盲都知“一个不漏”的确切含意。更多论据见下文。可见数集相等及近似相等概念表明x轴沿轴平移变为y=x+c（c是正常数）轴（≌x轴）≠x轴，当平移的距离≈0时y轴≈x轴。当然肉眼不可察觉此事实，但下文使人凭肉眼就能察觉，正如凭肉眼就能看到射线R⁺≈B一样。注：直线段η=[0，1]⊂x轴（且⊂y=x+a轴）各元x与[0，1]⊂y=x+a轴各元y=x+a可一一对应相等：x=j↔y=x+a=j，但要注意↔两边的x是不相等的，此x=j彼x=j-a，j的变域是η。A=｛-1，0，1｝各元x变为y=-x组成的｛-x｝各元-x与A各元x可一一对应相等：x↔-x=x，但要注意等号两边的x互为相反数。

横坐标相等的点（x，y）与（x，y′≈y）近似重合。直线A：y=x(y∈R) 各元点（x，y=x）保距平移变为点（x，y′=x+a）组成...即A（升高）平移成直线B：y′=x+a≈x，A≈B的原因是平移的距离a≈0使两线各有共同横标x的点的纵标y=x∈R与y′≈x一一对应近似相等；显然若“一一对应相等”则两线必重合。所以A、B不重合形象地说明R各元y=x与各对应y′=x+a不可一一对应相等。

h定理2：数集A各元x可变大（小）为y（x）>（<）x组成的B=｛y｝必有元在A外使B≠A。

证（见已在“预印本”上公布的黄小宁的相应长文）1：A=｛x｝各元x变为两个数：x、y≠x组成C=｛x、y｝={x}∪{y}=A∪B不是保距变换使C不≌A，据h定理1C≠A；包含A的C=A∪B≠A说明C中的B⊂C必至少有一元∈C在A外。

证2：A₀=｛1，2，3｝（各数可是数轴上点的坐标）中的1变大为2的同时另一元2变小为1即2与1互换位置，不能使A₀变为别的集；可见A₀中有的数变小的同时有的数变大才有可能使A₀变回自己，此消彼长的变化才有可能使变化的结果与没变化及恒等变化的结果一样。据h定理1A变回自己即变为B=A≌A只能是保距变换。观察A可推知A变回自己只能有两种保距变换：⑴恒等变换；⑵A各数之间作“你变大（小）地变为我的同时我又变小（大）地变为你”的变换即各元之间任意互换位置（这是不保序变换）。所以A各元x保序变大（小）为y>（<）x组成的B≠A。

证3：A各元x都变大（小）为y>（<）x组成B，据h逻辑学常识B≠A。证毕。

图：○→○表示圆盘A平移非0距离变为新圆盘B≌A，显然B必有元点在A外。

h定理3：任一点集A平移距离ρ≠0变为的B（≌A）中必有元点在A外使B≠A且B不⊂A，当且仅当ρ=0时B=A（若ρ≈0则B≈A）。

证1：若A不可通过恒等变换变为B则必说明A≠B。在平移变换：x↔x+c（↔两边的x是同一x）中当且仅当常数c=0时才是恒等变换即当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换。A各元x保距且保序变大（小）为y=x+c>（<）x（c是正（负）常数）组成B=｛y｝≌A，据h定理2B≠A，因B必有元在A外。

证2：在空间点集A的平移运动中显然当且仅当平移的距离=0时才是恒等变换，A平移成B≌A（平移的距离≠0），A与B合并成的C=A∪B不≌A从而更≠A，包含B的C≠A说明C中的B⊂C必至少有一元∈C在A外。证毕。

上述x轴沿轴平移变为y=x+a（≈x）轴，据h定理3y轴必有元点y=x+a在x轴外使x轴≠y轴。上述“无界”的点集D=｛±2p｝(可看成是“虚直线”) ⊂R轴沿轴平移距离1变成元为点y=±2p+1（奇数）的新点集｛±2p+1｝≠D。

4.几百年解析几何重大错误：将无穷多各异数轴误为同一轴——画图可一眼看出有长度不同的射线

据h定理3一空间直线（数轴）A沿本身非恒等变换地平移变为B≠A可变为无穷多各异直线相互叠压在一起形成平行直线丛；而直线公理使中学几百年解析几何一直只识其中的一条直线且将无穷多各异线（数轴）误为同一线（轴）：A。进而将无穷多各异平面（空间体）误为同一点集。注：平面（空间体）由无穷多相互∥的直线（平面）组成。

x轴即R轴有两子部射线：x≥0（即射线R⁺）和射线S⊂R⁺：x≥1。R⁺各元x≥0保距变为x+δ=y=x+1≥1组成S′=｛y｝即R⁺沿R轴正向平移距离1变为元是点y=x+1≥1（x≥0）的射线S′（～R⁺）：y=x+1≥1；据h定理3S′必至少有一元在R⁺外使S′不是R⁺的真子集。所以S′≠S（射线x≥1）⊂R⁺，中学几百年“常识”：“S=S′～R⁺”是肉眼直观错觉；这使康脱推出康健离脱的病态“定理”：R⁺～S⊂R⁺。读者画出S⊂R⁺、R⁺的图像可一眼看出它们有不同的长度即射线S⊂R⁺比射线R⁺～S′短。关键是平移运动不能改变射线的长度。“真理都是很朴实的”。

据h定理2R所有正数x组成的A各元x>0变小为y=0.5x<x组成的B=｛y｝必至少有一元y=y₀在A外而<R一切正数元x。显然y₀是标准分析一直用而不知的R外标准无穷小正实数，数学一直将这前所未知的“更无理”y₀误为R内数。同理A各x>0变大为y=2x组成的｛y｝必至少有一元y=y₁>x在A外而>R一切正数元（-y₁<R一切元）——说明有比R轴长的数轴、有比射线R⁺长的射线。

详论见已在“预印本”上公布的黄小宁的一系列长文，也可见拙文《3000年不识伪≌直线段使中学数学有一系列重大错误——看图识5000年都无人能识的无穷大自然数∈N》

http://www.360doc.com/content/20/0729/18/70996036_927464071.shtml，个人图书馆。

5.结束语

以上表明将貌似重合的两异集误为同一集就会引出一连串的更重大错误（例使“天才”康脱推出极荒唐的百年病态谬论“部分可=全部”），但限于篇幅本文只能挂一漏万；是否及时纠正与每一人的切身利益息息相关。

参考文献

[1][美]爱德华著，张鸿林译。微积分发展史[M]，北京：北京出版社，1987：368。

[2][美]鲁滨逊著，申又枨等译。非标准分析[M]，北京：科学出版社,1980:30。

[3]L.兹平著，应隆安译[M]。无限的用处[M]，北京：北京大学出版社，1985:13。

[4]黄小宁。几何、集合起码常识暴露中学数学一系列重大错误——几何起码常识让5千年都无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，科技视界，2016（3）：92。

[5]黄小宁。凭初等数学常识发现中学数学有一系列重大错误——让5千年无人能识的自然数一下子暴露出来[J]，学周刊，2018（9）:180。

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