通性通法｜函数“零点问题”最常三招
要说导数中最常见的题型，当然应该就是零点问题了。
有娃说，极值点也是常考的。
但极值点不就是导函数的零点么！
也刻意翻了翻近几年的全国卷考题：
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年份 |
全国Ⅰ卷 |
全国Ⅱ卷 |
全国Ⅲ卷 |
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2020 |
单调性 函数不等式 |
单调性 函数不等式 |
切线 零点范围 |
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2019 |
极值点 零点个数 |
零点个数 切线 |
单调性 最值 |
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2018 |
单调性 极值点 对数平均不等式 |
函数不等式 零点个数 |
函数不等式 极值点 |
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2017 |
单调性 零点个数 |
极值点 函数最值 |
函数最值 数列不等式 |
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2016 |
零点个数 极值点偏移 |
单调性 函数最值 |
函数最值 函数不等式 |
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2015 |
切线 零点个数 |
单调性 函数最值 |
是不是发现，函数的零点，绝对算是个高频考点了？
零点考什么？
高考中对于零点的考查，主要还是通过函数零点的这个问题背景，考查考生的逻辑推理和数学运算能力的。
逻辑推理和数学运算，不正是很多同学的弱项的么？
所以说，零点问题，对于很多同学来说，还是有一定的难度的。
当然，今天我们主要介绍零点的一般性处理思路，看看能不能达到类似于通性通法的效果。
那么，还是先熟悉一下零点的相关概念吧。
Part 1
相关知识点
一、函数的零点
①函数零点的定义：
对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫作函数y=f(x)(x∈D)的零点。
函数的零点不是坐标，也不是一个具体的点，而是一个数。
②函数零点的意义：
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，也是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。
③零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少存在一个零点。
存在性定理，只能判定函数在某个区间内有没有零点，但不能判定零点个数。零点个数的确定往往需要结合函数的图像去进行判定。
④二分点估算零点
第一步：确定区间[a,b],并验证f(a)·f(b)<0,
并给出精度ε；
第二步：求区间(a,b)的中点x1；
第三步：计算f(x1).
①若f(x1)＝0，则x1就是零点；
②若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1，
此时零点x0∈(a,x1);
③若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1，
此时零点x0∈(x1,b);
④判断x0是否达到精度ε，即|a-b|<ε，
则得到零点a或b;若达不到，则重复
第②到④步。
二、零点的求法
在具体问题中，求函数零点一般可以从以下角度进行处理。
①直接利用方程求零点：
令f(x)=0，求出方程的根，方程的根即为函数零点；
②利用图像交点求零点：
将函数变形为两个函数的差，利用数形结合，将零点问题转化为两个函数图像的交点问题；
③利用零点存在性定理：
先确实函数在[a,b]上图像连续，且f(a)·f(b)<0,并结合函数性质（单调性、对称性、极值）确定有几个零点。
Part 2
典型例题解析
通过前面对近几年高考题的研究，你应该已经发现了，切线的求法，也应该要引起重视的。
曲线的切线方程求法：
①对于二次曲线y=f(x)：由y=f(x)及直线y=kx+b联立消元后，利用Δ＝0，并结合已知点或斜率，求得切线方程。
②对于一般曲线：根据已知切点或设切点横坐标x0求出切线斜率f'(x0)，利用点斜率式写出切线方程。
求出b的值以后，我们就可以从解方程、数形结合和零点存在性定理这三个角度，对零点的个数及零点的大小进行分析了。
Ideas 1
方程的角度
Ideas 2
数形结合角度
Ideas 3
函数性质角度
以上是解决函数零点问题最常规的三种思路分析，虽然用它们并不一定能够解决所有的零点问题，但应该会让我们对于函数的零点，有一个更清晰的认识。同时也提醒我们，平时要通过处理类似的综合性问题，提高自己分析和解决问题的能力。
最后再强调，函数零点的处理主要从下面三个角度切入分析：
方程的角度
↓
分离函数后数形结合角度
↓
零点的存在性定理角度
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