圆周率π有什么奇异的数学特性?
圆周率π是一个几乎人人皆知的常数， 凡是上过小学的人都知道它的值等于3.14，用它可以计算圆的周长和面积。如果上到高中，学生们还会用它来计算球的体积。但它的值是怎么求得的， 它还有什么其他的数学特性，恐怕知道的人就不多了。
公元前200多年，古希腊数学家、物理学家阿吉米德，是世界上最早把π计算出精确至小数点后两位数的人，他求的值是3.14。为了纪念他的这一贡献， 人们把3.14称之为阿吉米德数。据传他是用切割法求得此值的，即用许多短直线来近似代替圆。这已经类似现代数学中的微分计算。他具体的做法是把一个圆按30°角度均分成12段圆弧。然后在圆弧与半径的交点作切线，切线与两个邻近半径的延长线相交，组成一个等边三角形。这样可以求出π的上界 22/7。用同样的思路， 把两个邻近半径与圆弧的交点连接起来，包括两条半径，就可以组成一个新的内切等腰三角形。这样可以推导出π的下界为223/71。这两个数的前三位公共数就是3.14。
令人惊叹的是， 古希腊人在公元前二世纪就掌握了连许多现代人都不会的数学几何逻辑推理。可惜，阿吉米德被罗马士兵杀死。不然的话，他还能取得许多其他惊天动地的成就。
在公元5世纪，中国的数学家祖冲之也曾在计算π的道路上取得了辉煌成就。他求的值是355/113=3.1415929。这个数一下子让π精确到小数点后六位。根据历史记载， 他也是用切割法求得此值的。但他具体的求解过程，已经无从考证，成了永恒的谜。
现在，数学家已经把π计算到精确度到提高到三十万多亿位。
求解它的值，只是研究π的初级阶段。π还有许多其他奇特的数学特性。
第一，人们要问， 既然π是圆周长和直径的比， 但对不同直径的圆， 它是不是一个常数呢? 无论阿吉米德，还是祖冲之， 都是理所当然地把它当着常数来看待的。但严格的数学证明， 是在法国数学柯西(Chaucy)建立了极限论后才得以实现的。这一过程极为简单， 只要把圆用许多小三角形分割，然后用欧几里得几何学的相似三角形原理，取其极限，就能证明。
第二，现在人们都知道数分为有理数和无理数两类，但在遥远的古代并不是这样的。古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)和他的学生曾经认为所有数都是有理数，即任意一个数都可以用两个整数相除得到。他的学生希帕索斯(Hippasus)无意中发现了√2 是无理数，即这个数则不能表示为两个整数相除。这一发现与毕达哥拉斯的理论相悖，因而大大地激怒了他，于是他就把希帕索斯投入茫茫大海之中。
无理数是那些不能够用两个有理数相除来表示的数，用通俗的话来说， 无理数就是小数点后面有无穷位数，而且不循环。
实数理论， 包括有理数和无理数，是由德国数学家魏尔斯特拉斯(Weierstrass)建立起来的。他的理论说明，无理数可以通过有理数的无穷数列收敛产生， 从而确立了无理数和有理数平起平坐的地位。在德国数学家康托(Cantor)创立了集合论后，人们更是发现无理数要比有理数多得多。无理数在数轴上是密密麻麻，几乎没有缝隙，而有理数在数轴则是稀稀拉拉，在任意两个靠得很近得有理数之间，都可以找到无穷多个无理数。如果用数学语言来表示，有理数在数轴上是稀疏的，而无理数在数轴上则是致密的。由于有理数和无理数都有无穷多个，人们不能够用常规的方法来比较它们的多少， 于是康托发明了势的概念来定义它们的大小。他用希伯来语的第一个字母ℵ 表示势。有理数的势 ℵ_0是无穷集合里最小的， 无理数的势为ℵ_1，比有理数大一级。
从第一次发现无理数， 到建立起完备的实数理论， 把有理数和无理数有机地组合在一起，人类经历了两千三百多年的漫长岁月。
现在要问，π是有理数，还是无理数? 长期以来，人们无法回答这个问题。直到现代数学理论建立后，数学家尝试着用级数来证明π是有理数，但都没有成功。他们试图把它展开在各种级数中，始终没有发现它的尾数逐步衰减。人们不断地计算它的值， 尽管小数点后面的位数越来越长，也没有发现出现循环数的迹象。千般努力，万种辛苦，终究归于失败。于是，人们放弃了求证π是有理数的念头。
第一个真正证明π是无理数的是德国数学家兰伯特(Lambert)。他在欧拉(Euler)证明欧拉常数e是无理数的基础上， 用无穷连分数证明了π是无理数。有趣的是， e是十八世纪才被发现的， 但却在π之前被证明是无理数。
不过，有人对兰伯特提出了质疑， 认为他的证明不够严谨。更进一步的证明由法国数学家勒让德(Legendre)做出的。勒让德出版了一本关于几何的书。在这本书中， 他不仅对兰伯特德证明予以了补充，而且还进一步证明π的平方也是无理数(√2是无理数，而它的平方2却是有理数)。从此以后，笼罩在π头上的无理数特性的疑云消失得无影无踪，人们对π的探索也进入了新的天地。
证明π是无理数还有一个哲学上的意义，即圆和直线是彼此完全独立的两个几何元素。如果π是有理数，就意味着用n条直线可以构成m个圆弧， 也即圆和直线在一定程度上可以彼此互相转换。正是由于π是无理数，所以直线和圆彼此独立，造就了各种各样新颖奇特的几何图形，使我们生活的世界斑斓多姿。
第三， 证明π是超越数，是人们在研究π的征程中的又一个里程碑。所谓超越数， 就是不可能成为以有理数为系数的任意多项式的根的数，而能够成为这种多项式的根的数被数学家命名为代数数。
为什么要研究π是不是超越数呢? 这是因为求解多项式的根在十八世纪和十九世纪是相当时髦的数学分支，因为其他所有的函数都可以用多项式来无限近似。大名鼎鼎的德国数学家高斯(Gauss)也加入进来并取得了卓越的成果。高斯在他的博士论文里证明， 任意一个n阶多项式都有n个复数根。不过，他没有提出求解n阶多项式根的具体过程。
求解n阶多项式的根的方法是由挪威年轻数学家阿贝尔(Abel)和法国更年轻的数学家伽罗华(Galois)给出的。
阿贝尔还在上大学时期就证明了五次以上的多项式的根式解法是不存在的，只是在以下特殊情况下，五次以的上多项式才能有根式解。他把论文寄给了高斯。可惜他的信犹如石沉大海，毫无回音。当时，学术交流没有今天这样频繁，更何况阿贝尔是一位年轻的无名之辈，高斯没有重视他的论文。
不幸的是， 这位天才的数学家在27岁时染上了肺结核去世了。当时的肺结核是不治之症。他的去世应验了中国的一句古话，天妒英才。
在数学的一个重要分支群论里，有一个特殊的群，就是以他的名字命名的， 以纪念这位英年早逝的天才数学家。
另一位法国天才数学家伽罗华创造性地用群论来求解多项式的根。在十九世纪初期，群论还是一门生僻的学问，不为人们广泛所知，用它来研究多项式的根是绝对超前的想法。同样不幸的是，这位年轻有为的数学家在21岁时就因为和人决斗而匆匆地离开了人世。
在研究多项式的根取得了决定性的进展后，人们自然会问，哪些数能够成为以有理数为系数的根，哪些数则不能? 于是就诞生了超越数和代数数的概念。
第一个证明π是超越数的人是德国数学家林德曼(Lindemann)。他在证明过程中用到了著名的欧拉公式 e^iπ+1=0。这间接地宣示了欧拉在数学历史上空前绝后的巨大影响力。在此之后，许多数学家对林德曼德证明进行了改进和简化，彻底完成了人类对π是超越数认识的飞跃。
在证明了π是超越数后，人们对它的研究并没有停滞不前，而是向新的问题发起了冲击。现在关于π的研究题目集中在于它究竟是不是个正态数， 即π小数点后面的10个基本数，0，1，2，3，….. ，9， 是不是以平均的概率出现的。尽管众多的数学家经过了一个多世纪的艰苦卓绝的努力，这个问题至今依然悬而未决。要解决这个问题，显然不能只用计算机了，而是必须发明新的数学理论了。
求解π的值也一直是人们感兴趣的题目。随着现代数学理论的不断进步， 数学家发明了各种各样的方法，并利用计算机，把π计算到精确到提高到三十万多亿位。如果把这么多的数印成书，该书会有几十万米厚。当今之世，这一求解过程还在方兴未艾。
对于π的探索和研究，已经伴随着人类走过了两千五百多年的历程了。现在的问题是，这一历程何时有个终极呢?