【解题研究】（2021黑龙江佳木斯26）特殊三角形•斜边中线•全等与相似•几何探究

2021黑龙江佳木斯26

在等腰△ADE中，AE＝DE，△ABC是直角三角形，∠CAB＝90°，∠ABC  ∠AED，连接CD、BD，点F是BD的中点，连接EF．
（1）当∠EAD＝45°，点B在边AE上时，如图①所示，求证：EF  CD；
（2）当∠EAD＝45°，把△ABC绕点A逆时针旋转，顶点B落在边AD上时，如图②所示，当∠EAD＝60°，点B在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EF和CD又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

试题分析

（1）由点F是BD的中点，可得EF  BD，要想证EF  CD，需证CD＝BD，由全等或垂直平分线可证，从而可证出结论．
（2）如图②中，结论：EF  CD．取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．证明△AFT≌△ETF（SAS），推出EF＝AT，可得结论．
如图③中，结论：EF  CD．取AD的中点O，连接OF，OE．证明△EOF∽△DAC，可得  ，即可解决问题．
备注：
1．挖掘特殊图形，运用分析综合法，合理转化；
复杂的几何图形是由简单的几何图形构成的.在分析几何问题时，往往要先从分析简单图形的性质出发,再综合几个简单图形相应的结论(如：角度关系、线段的数量关系、全等关系、相似关系等等)，最终得以解决题目所求问题，这种方法被称为基本图形分析法．
2．构造全等三角形助力问题解决
中考综合题的问题的设计，往往是在一定的条件下隐去了全等二角形基本图形中的部分元素，因面若要在短时间内正确得到解决问题，需要我们理解题目中的条件和所给图形的特征，挖掘其中的条件，识破图形，通过添加适当的辅助线，还原全等三角形的基本图形．
因此，我们在解些中考综合题中，若能掌握和熟练地运用构造出全等三角形的一些基本图形，则往往可快捷地找到解题的思路，从而使问预在短时间内能够得到正确的解答，有效地提高了解题速度和正确率．
3.常用构造全等的方法有哪些：
（1）翻折法；（2）旋转法；（3）截取法；（4）平移法；（5）延长法．
4.利用全等常解决哪些问题
（1）证明线段或角等的问题；
（2）证明平行或垂直的问题；
（3）线段的和差问题（补短法或截取法）；
（4）线段的倍分问题（折半法或加倍法）；
（5）角的和差倍分问题．

题目解析

（1）证明：如图①中，
∵EA＝ED，∠EAD＝45°，
∴∠EAD＝∠EDA＝45°，
∴∠AED＝90°，
∵BF＝FD，
∴EF  DB，
∵∠CAB＝90°，
∴∠CAD＝∠BAD＝45°，
∵∠ABC  ∠AED＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AC＝AB，
∴AD垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∴EF  CD．
（2）解：如图②中，结论：EF  CD．
理由：取CD的中点T，连接AT，TF，ET，TE交AD于点O．
∵∠CAD＝90°，CT＝DT，
∴AT＝CT＝DT，
∵EA＝ED，
∴ET垂直平分线段AD，
∴AO＝OD，
∵∠AED＝90°，
∴OE＝OA＝OD，
∵CT＝TD，BF＝DF，
∴BC∥FT，
∴∠ABC＝∠OFT＝45°，
∵∠TOF＝90°，
∴∠OTF＝∠OFT＝45°，
∴OT＝OF，
∴AF＝ET，
∵FT＝TF，∠AFT＝∠ETF，FA＝TE，
∴△AFT≌△ETF（SAS），
∴EF＝AT，
∴EF  CD．
如图③中，结论：EF  CD．
理由：取AD的中点O，连接OF，OE．
∵EA＝ED，∠AED＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵AO＝OD，
∴OE⊥AD，∠AEO＝∠OED＝30°，
∴tan∠AEO  ，
∴  ，
∵∠ABC  ∠AED＝30°，∠BAC＝90°，
∴AB  AC，
∵AO＝OD，BF＝FD，
∴OF  AB，
∴  ，
∴  ，
∵OF∥AB，
∴∠DOF＝∠DAB，
∵∠DOF+∠EOF＝90°，∠DAB+∠DAC＝90°，
∴∠EOF＝∠DAC，
∴△EOF∽△DAC，
∴  ，
∴EF  CD．

解后反思

1.本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
2.“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”。这一性质既说明了斜边上的中线与斜边的数量关系，又得到了两个相关的等腰三角形,所以这一重要性质是研究线段倍半关系和等腰三角形的基础.在许多涉及直角三角形斜边上中线的几何证明与计算中,若能充分发挥这个性质的作用往往能使你体会到斜边上的中线给问题的求解带来的方便,使问题化难为易,从而解决问题
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