法国大革命与数学（下）
来源：《科学、技术与辩证法》1986年第2期
作者：李文林
十八世纪以前的欧洲大学，数学教学与研究是相互脱节的。多科工艺学校提倡数学教学与研究的结合，众所周知，这种结合已成为今日西方大学普遍的传统。在当年的多科工艺学校，这种结合产生了极其丰硕的成果。正是由于多科工艺学校师生的活动，巴黎在许多年间成为公认的数学中心，而十九世纪新的数学研究领域，有许多都可以溯源于多科工艺学校(以及高等师范学校)的研究，或是受了其影响。
1.十九世纪综合几何的复兴是发端于多科工艺学校。最先是蒙日画法几何的创立，蒙日出于军事建筑工程的需要而发展了画法几何，并通过在多工和高师的教学极广泛地传播了自己的思想。蒙日指出，画法几何只是更一般的投影几何的特别情形，而他的学生，尤其是彭色列，后来就建立了系统的投影几何理论。投影几何成为十九世纪最活跃的数学分支之一，其中关于几何不变量的概念，影响到克莱茵的著名的几何学群论原则，已成为现代几何学的基本概念之一。回顾在十八世纪末，综合几何的研究一度山穷水尽，蒙日学派重新打开了崭新的局面，其中最富革命性的一点是在于：蒙日等人的几何研究可以看作是同欧几里得范型的一种决裂，因为投影几何事实上也是一种非欧几里得式的几何，它使人们看到几何学除了欧几里得所规定的模式外还大有天地，对十九世纪几何学中的非欧化倾向起了重要的作用。蒙日学派的工作后来被沙勒等继承，特别是影响了德国的斯坦纳、格拉斯曼、普吕克和斯陶特等，他们发展了仿射几何、代数几何、高级几何等。此外，微分几何之成为独立的数学分支，蒙日学派功劳极大，而微分几何对于非欧几何的普遍接受更具决定的意义。
2.分析的严格化，是贯串整个十九世纪的数学主流，在这一运动中，多科工艺学校也是一马当先。从1821年开始，柯西发表了一系列著作，建立起严格的极限理论作为微积分的基础，这引导到级数收敛性判别和函数连续性的研究，以及函数概念本身的精确化。柯西还开创了复变函数论。柯西是在多科工艺学校接受教育的，拉普拉斯、拉格朗日做过他的老师，并关注过这位学生的数学才能。1816年，柯西本人也成为多工的数学教授，而他关于分析基础的著作，有许多就是他在多工的讲演或教程，如著名的《分析教程》，全名应为《高等多科工艺学校分析教程》(Cours d'analyse de I'ecole royale polytechnique, 1821)；《无穷小演算讲义》，实为《高等多科工艺学校无穷小演算讲义》(Resume des lecons donnees a I'ecole polytechnique sur le infinitesimal, 1823) 。
图1 柯西
3.多科工艺学校还是近代数学物理的起源地。法国革命时期，数学与力学的联系，也就是拉普拉斯和拉格朗日式的数学；在多科工艺学校被继承发扬。福里叶的热传导理论可以说是近代数学物理的序幕；而泊松关于电、磁的数学研究，直接影响了以格林为开山的剑桥数学物理学派，最终导致了麦克斯韦电磁波方程的建立。
4.对近世代数有革命性影响的群论，也是产生于法国革命年代。群的概念是对方程求解问题逻辑考察的结果，拉格朗日这样的大家都作过深入的探讨，但这问题的最后突破，却是由像伽罗瓦这样初出茅庐但充满对传统观念的反叛精神的青年学者来实现的。伽罗瓦曾是师范学校的学生。
图2 伽罗瓦
因此，与十八世纪风格迥异的十九世纪新型数学，显然是同法国革命时期建立的多科工艺学校等新型机构的教育和研究活动分不开的。
这些新型学校对现代数学的重要影响还表现在它们的教科书。为了适应新教育的需要，多科工艺学校与高等师范学校使用了全新的教材。蒙日的《画法几何学》实际上是他1894-1895年间在师范学校讲课的讲义。勒让德的《几何学概要》，也是以近代教育需要为基础的几何学课本。蒙日的学生更是写了许多优秀的教材，其中影响最广的如：
拉克鲁阿：《微积分学》，从1797到1881年岀了 9版；
毕欧与阿协特：《解析几何学》，从1802起12年出了 5版，“解析几何” 一词由此开始使用。
这些教科书被译成欧洲各国文字，并一而再，再而三地重版，成为现代大学里数学教科书的先驱，波约(C・Boyel)称它们是一场“教科书革命”。
法国革命为现代数学发展带来的又一福音，是数学定期刊物的出版。最早的数学刊物是日尔岗纳的《纯粹与应用数学年刊(Annales de Mathematiques pures et Appliquees)，创刊于1810年，这发生在巴黎以外的蒙特佩里尔(Montpellier)。 在法国影响下，德国也开始创办专门的数学杂志，这就是克雷尔的《纯粹与应用数学杂志》(Journalfiir die reine und angewandte mathematik) (1827) 。1839年，剑桥数学杂志也诞生了。这些数学杂志，对于促进数学研究的社会化以及保障学术民主起了很大的作用，因为它们向年轻的、有创造力的数学家开放篇幅，不管他们的资历和地位如何，而其中有许多划时代的成果如果在以往的条件下多半要被埋没。比如阿贝尔积分的论文(1826)，遭到柯西的冷落，送到勒让德那里又被后者遗忘，一直拖到1841 年才被科学院发表，但日尔岗纳和克雷尔的杂志早从1827年起就刊登了阿贝尔关于阿贝尔积分和方程论的文章；雅可比椭圆函数的论文、格林位势理论的论文等数学史上的重要文献，也都是在别处得不到发表而首先在克雷尔的杂志上公诸于世的。
法国大革命时期，数学家的地位显著提高，这是资产阶级重视科学，爱屋及乌的结果。 在革命初期，资产阶级政权曾镇压过反对革命的科学家，最著名的是拉瓦锡之死。但很快它就发现资产阶级革命需要科学，开始对科学家包括数学家采取了宽容的政策。比如他们下令驱逐所有的外国人，但却破例准许拉格朗日留下来。革命政府进而把数学家们吸收到重要的改革活动中来。如有名的度量衡改革，拉普拉斯、拉格朗日、勒让德、卡诺和蒙日等都被任命为这个改革委员会的委员。在多科工艺学校和师范学校成立时，他们也被委以重任，孔多塞(Condorcet)被指定负责筹建新型的教育机构，蒙日也是这样，并当了校长。拿破仑对数学和数学家更重视，这与他青年时代在军事学院受到的教育与素养有关。拿破仑认为，“数学的进步与完善同国家的繁荣有直接的关系”。拿破仑因此而给许多数学家以很高的荣誉。蒙日、拉格朗日和卡诺被他封为伯爵；拉普拉斯被封为侯爵；拿破仑还曾任命福里叶为省长，只有勒让德没有得到他的封绶。
图3 拉普拉斯
法国大革命时期的数学家，很明显地分成了两群，一群是以三L为代表，他们虽然参加了革命政府和拿破仑政权组织的科学与改革活动，但政治上基本上保持中立，其中勒让德最严格，但在晚年，他由于不能忍受政府对科学院的控制也遭受了打击。拉普拉斯则同动荡年代相继更迭的每个新政权都能和平共处，他用这种顺变的做法维持其平稳多产的数学活动。
另一群不同的类型是以蒙日、卡诺和孔多塞等为代表的。他们在学术活动的同时，积极参加到政治变革中。孔多塞是一个吉伦特派，激进派掌权后对他进行了通缉，1794年遭捕自杀身亡，是大革命时期身世最惨的一位数学家；拉扎尔·卡诺（一个科学、政治大家族的家长，他一个儿子S ·卡诺是大物理学家，另一个儿子H ·卡诺做过教育部长，有一个孙子做过法兰西第三共和国总统）是一位有坚定政治操守的数学家，他在外国军队入侵阶段，成功地把革命军队组织起来保证了革命的军事胜利，因此被公众称为 “胜利的组织者'。他反对过罗伯斯庇尔的一些恐布做法，差一点丢掉脑袋，在拿破仑称帝时，他又是少数有胆量站出来公开反对的议会领袖。蒙日则是一个激进派，甚至是雅各宾俱乐部的成员。1792年任革命政府海军部长，曾签署了处决路易十六的报告书。 他同卡诺不同，是拿破仑的崇拜者，拿破仑对他也很信任。拿破仑出征意大利和埃及 时，军营里总有几个数学家做参谋，蒙日是最有威信的一位，拿破仑甚至让他来决定将哪些艺术品掠回法国。皇政复辟以后，蒙日被剥夺了一切荣誉包括他在多科工艺学校的职位，不久精神崩溃而谢世。卡诺则被放逐到马德堡，但他勇敢地承受了打击，并继续坚持数学研究。
皇政复辟虽然打击了像蒙日、卡诺这样的老一辈学者，但多科工艺学校所培育的新一代数学家却成长起来了。法国数学的影响，沿着两个相反的方向扩散出去：向西，越过英吉利海峡，它刺激了英国数学的复兴，这是从剑桥分析学会的革新活动开始的；向东，它冲破了德法战争造成的民族屏障，启迪了斯坦纳、狄里希莱到黎曼、魏尔斯特拉斯的德国数学新时代。法国大革命发生至今已近两个世纪，它作为社会变革影响数学发展的典型例子，一直受到科学史家们经久不衰的注意。