面积计算(二)

努力做最好的中小学数学教育公众号

努力做一个最丑的公众号

来都来了,敬请关注“贼叉”,或者直接搜doubimather,逗逼数学人。

更加欢迎置顶。

为什么说三角形的面积公式是最基本的?因为我们可以用三角形来生成所有的多边形。换句话说,只要有三角形的面积公式,我们就可以计算出一切多边形的面积,当然,仅仅是理论上。

首先我们来看平行四边形的面积。平行四边形是指两组对边都平行的四边形,我们把两个相对的顶点连起来,就得到了平行四边形的一条对角线。

由初中的平面几何知识我们可以知道,一条对角线把平行四边形分成了两个全等的三角形,所以很容易得到平行四边形的面积是底乘以高,即S=ah.

从这个推导我们可以看出,化归的思想简直是无处不在。因为四边形的面积公式并没有告知,我们有的只是三角形的面积公式,很自然的想法就是如何把四边形拆分成若干个三角形以后来计算面积——这里我们其实还回避了一个小问题:即怎么拆分才是合理的。由于把不相邻的顶点相连直接就能得到两个小三角形,这个问题看起来就不那么重要了。更一般的,对于n边形的情况,我们只要固定住某一顶点然后和其他非邻边所在的顶点连线,可以得到n-3条不同的对角线,于是一个n边形可以被分解成n-2个小三角形,于是面积就等于这n-2个小三角形面积的和。

作为学习过平面几何的家长知道,添加辅助线是平面几何中最让人头疼的一件事,这就是涉及到合理性的问题。加辅助线灵魂三问:要不要加?加在哪里?加的对不对?这些训练早在小学的几何图形面积的求解里就有最初步的训练。

回到我们的平行四边形面积的推导中来,以此为基础,我们很容易得到矩形的面积公式就是长乘以宽,而正方形的面积公式就是边长的平方。这个可以视作平行四边形面积的直接推论,但是直接推论的基础是什么?

只能是基本定义。

什么是矩形?有一个角是直角的平行四边形或者四个角都是直角的四边形就叫矩形,什么是正方形?邻边相等的矩形才是正方形。

换句话说,矩形的长和宽就是普通四边形里的底和高,而且互为底和高,也就是说矩形的任意两条邻边随便哪条都可以当做是底,那么另一条自然就是高。而正方形的底和高都是相等的,所以面积就是边长的平方。

当然,由于小学里没有学过所谓全等的概念,但是并不妨碍我们用这个概念来理解一些事情。比如我们可以对下面的平行四边形做这样的变换:

看,平行四边形是不是就变成了一个矩形了?

我们把切下来的直角三角形完美地拼到了另一头——对于任何一个学习过平面几何的人来说,这样的做法显然是很不严格的,因为你都没证明这是全等的图形,但是对孩子来说,这个直观就够了。

我们还可以进一步地进行一些训练,比如让孩子把平行四边形按照对角线剪开,然后以某一边为对角线拼成一些新的平行四边形。在这个过程中,我们很容易发现图形虽然样子发生了改变,但是面积大小并没有发生改变。我们甚至还可以如下操作:把平行四边形拦腰截断,然后再拼起来,面积依然不会发生改变。

总是玩七巧板一样,有意思么?

有啊,要知道,计算面积最重要的技巧不就是所谓的割补法么?从这样不严格的、直观的训练做起,孩子会容易接受的多哟~

关注贼老师

好好学习

天天向上

(0)

相关推荐

  • 正方形,正方形的性质,正方形的判定

    ◎ 正方形,正方形的性质,正方形的判定的定义 正方形的定义: 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 特殊的长方形. 四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形. 有一组邻边相等 ...

  • 初中数学,中点四边形,100%干货系列

    在三角形中,我们探究过连接三边中点的三角形,即由三角形中位线组成的三角形与原三角形的关系. 在四边形的学习中,有一种特殊的四边形--中点四边形.今天我们就研究一下关于中点四边形的部分内容. 定义:依次 ...

  • 神奇的公式

    小学阶段的学习,学生们会接触到很多关于面积计算的公式,这些公式犹如一环又一环紧密相扣的链条,不断地在"旧公式"的基础上推陈出新. 圆的面积公式是小学阶段所要学习的最后一个平面图形面 ...

  • 中考数学复习11个专题——开发思维、走出题海

    特级老师编写的中考复习资料,值得认真研究学习.目录如下: 目录1 目录2 四边形继三角形内容之后的又一大重要几何板块,平行四边形与三角形.特殊四边形与特殊三角形都有着千丝万缕的联系. 一.平行四边形. ...

  • 人教版 | 初二春 · 平行四边形、矩形、菱形综合应用

    李仙儿课堂开课啦 跟着李仙儿 数学飞天 李仙儿寄语: 一大波知识点来袭 以为你布下天罗地网 快来试试吧 敲重点啦! 特殊四边形的性质及判定定理很多 容易混淆 深刻理解这些性质与判定 理清他们之间的联系 ...

  • 三年级:美妙数学之“图形的面积计算(二)”(0322三)

    美妙数学天天见 每天进步多一点 亲爱的小朋友,你好.我是朱乐平名师工作站的俞国芳老师,来自杭州市笕桥花园小学.今天与你们分享的内容是"图形的面积计算"(二).看看今天你将学会什么妙 ...

  • 面积计算(三十二)

    在证明勾股定理的时候,我们采用了把四个直角三角形拼起来的办法.除了这种拼法以外,我们还可以用另外一种拼法: 我们也可以用这个图来证明勾股定理,只要作适当的调整,计算出里面小正方形的边长为b-a(这里不 ...

  • 面积计算(二十八)

    勾股定理,一个伟大的定理. 在无数个关于最重要的数学公式(定理)的排行榜中都有它的一席之地. 简洁,明了. 据说,到目前为止,关于勾股定理一共有400多种证法,甚至连美国第17任总统加菲尔德也给出过一 ...

  • 面积计算(二十七)

    已知正方形边长是14,EK=3,HL=4,求四边形EFMN的面积. 如果没有思路怎么办? 没错,玩赖!用一下初中的办法先把答案解出来.我们不妨设BE=a,BH=b,然后用a,b把四个直角三角形面积给表 ...

  • 面积计算(二十六)

    我们接下来将不再给定条条框框,不管用什么办法,只要把题目做出来就好.换句话说,这就是接近于实战了--考试的时候可不会告诉你这个题目在哪个章节,那就等于告诉你该用什么方法了. 例:已知图中矩形被分割成若 ...

  • 面积计算(二十五)

    在讲应用题的时候我们讲过设而不求的办法,事实上在面积计算的时候,我们也可以采取类似的办法来解决一些问题. 例:如图,P是矩形ABCD内一点,已知△PAB的面积是7,△PBC的面积是3,求△PBD的面积 ...

  • 面积计算(二十四)

    四边形中有一类求面积是比较难的:顶点和对边上的点连线,然后交织出的阴影部分的面积问题--特别是四边形本身还不是规则的四边形. 我们再回忆一下上一节中的例子: E,F是AB和CD的中点,则四边形BEDF ...

  • 面积计算(二十三)

    很多家长经常问我:贼老师,孩子怎么才能提高解题速度? 事实上,解题速度这个东西和孩子的日常积累以及联想能力有关.在小学阶段,孩子能够做到模仿就很不容易了,要孩子能够短时间内联想到掌握的知识,这个要求比 ...

  • 面积计算(二十二)

    三角形的面积计算是其他几何图形面积计算的基础.如同初中的几何课程编排一样,先三角形再四边形,这样的逻辑顺序其实从小学就开始了. 事实上,任何一个凸四边形连接其中一条对角线就可以将其分成两个三角形--这 ...

  • 面积计算(二十一)

    过年七天没有看数学,是不是很想念呀?没关系,贼老师又来了!我们接着讲小学奥数中的面积问题. 我们接着来看正三角形相关的例子. 已知△ABC是正三角形,面积为100,D,E,F分别是三边的中点,已知△A ...