面积计算（二十五）

在讲应用题的时候我们讲过设而不求的办法，事实上在面积计算的时候，我们也可以采取类似的办法来解决一些问题。

例：如图，P是矩形ABCD内一点，已知△PAB的面积是7，△PBC的面积是3，求△PBD的面积？

第一反应是什么？

底乘高除以2。但是在小学阶段，在不给出任何一条线段长度的前提下要根据面积求线段的长度，只能是正方形或者圆，题目不具备这个条件，所以一定不是这条路。

于是只能通过面积的加加减减了——在排除掉直接法之后，我们只剩下间接的办法。

但是问题来了，已知的是△PAB和△PBC的面积，如果求△PAC的面积看起来似乎更容易一些，现在的目标△PBD简直就像一把钢刀插入敌胸膛的感觉啊。

不过我们通过仔细观察，还是可以发现：△PBD的面积等于△PAB的面积加上△PAD的面积然后减去△BAD的面积——这恰好等于矩形面积的一半。

但是矩形的面积很显然是可以变化的。我们可以很轻松地改变△PAB和△PBC的形状，然而保持其面积满足条件。这时候△APC的面积始终是变化的，因此矩形的面积是变化的，于是我们可以得到结论：

阴影部分的面积和矩形面积无关。

如果得到了这个结论，家长应该如何引导孩子呢？

没错，既然矩形的形状和面积对最后的结果没有影响，我们不妨设A，P，C三点共线，也就是说P恰好在AC上！

此时，△BAD的面积的问题解决了，就等于△PAB和△PBC的面积和，即10。现在的问题是△ADP的面积是多少？

是不是还是得从那两个已知的三角形面积入手？那么究竟是△PAB还是△PBC呢？△PAB和△PAD看起来没什么关系，但是△PBC和△PAD起码是同底的——这就是我们找寻的方向，对于图形之间的联系，总是有共同点的先考虑起来。如果注意到这两个三角形的高是定值，恰好就是矩形的宽，我们就会发现△PBC和△PAD的面积和恰好就等于矩形面积的一半——10。

所以，△APD的面积就等于7，而阴影部分面积就等于7+7-10=4。

等等，贼老师，你说的设而不求在哪里呢？

上面的做法是把P点特殊化，这是在没有办法的情况下，或者在面对填空选择题的极限做法。如果大题这样做，肯定要扣分，所以我们设而不求就是用来解决一般情况。

顺便说一句：P是矩形内一点，则P点和四个顶点所构成的对顶三角形面积和为定值，该定值恰好是矩形面积的一半。像这种常用结论需要记下来，不要再临时推导。

有了这个结论，我们不妨设△PDC的面积为x，则△PAD的面积为7+x-3=4+x。阴影部分面积为：7+4+x-(7+x)=4。

没错，就这么简单。设而不求往往用在定值类的问题上，即在题目中的图形发生位置变化却对最后结果不影响的情况下使用，所以判断是不是定值问题往往是关键，在判断出是定值后，可以先用特殊点计算出答案，然后再想办法把一般的情况捣鼓出来——没错，就是捣鼓~