学生的智慧——另类的裂项求和

开学初，因为需要搬办公室，意外地发现之前做的教学反思笔记，打开看到之前写的一篇文章，现在分享给大家。

这是发生在2015年初带的高一九班学生（2014年入学）的案例。

教学背景：

在上节课教学中讲到了裂项求和，并出示一道例题，和同学们一块解决：

随后布置了一道练习题：

由于没有多长时间就下课了，索性就留成课后作业。

第二天，我找学生上讲台板书过程：

一位学生写到：

看到这儿，我不禁笑了，但是我并没有打断孩子的解题。接着看，

可是，看完学生完整的解答过程，我惊呆了，这确实是裂项求和的思想啊！这样也可以？还是只是偶然，我紧接着又出两道：

不一会儿，学生给出了答案：

看完学生的答案，我几乎要疯狂，兴奋地疯狂，我的学生们太厉害了，这是一种通法，于是果断放弃原计划的教学，开始尝试引导孩子们发现这类问题的规律。我注意到，给出的练习题都是以“1”开始的，于是，我接着给出一道习题：

面对这样一道题，学生变得五花八门，而且无法做到前后相消，于是，我引导学生观察以上几个式子裂项后分子与分母各自的特点，包括与通项公式的区别联系，学生很快总结出分母正好是两个因数，去掉相同项是一个等差数列；而分子去掉相同项仍是一个等差数列，且公差比分母项的公差少1。

接着学生给出解决方案：

我心里清楚这是一种数列求和的方法，而且也是裂项相消的思想。可是这不是常规的“裂项求和”，这不是我要告诉给孩子们的裂项求和，但是望着还沉浸在解题成功的喜悦里的孩子们，真的不忍心打击孩子们学习探索的兴趣。

首先，我肯定学生：你们是厉害的，也是最优秀的。这种解题的方法是正确的，也是裂项相消。但是，我带过的几届学生没有发现这种解题方法，当然，之前我也不知道，我们年级的数学教师都不知道，甚至是全校的教师也不清楚。

为什么？因为老师们更习惯于用另一种分裂方式：

显然，这种方法更简单，也正是因为简单，所以忽略了对其他方法的探讨，当然，你们那种方法是正确的，那么在考试中，这样的写法是否能拿满分？

刚才我说了，并不是所有的人会像我这么幸运能够从你们这儿学到这种新的“裂项”方法。如果你们要选择第一种方法，首先需要较长的时间找出裂项，有的时候裂项复杂到让你自己也怀疑，譬如变式4；其次，如果恰好遇见阅卷教师没有认真仔细分析你这个过程，就像我最开始认为你们只是巧合一样，可能不会给你满分！

所以，无论从思维简单程度，还是从得分率上，我都建议大家用第二种方法。当然你们这种方法是正确的，也叫做“裂项求和”，只是新颖的方法让所有人认可是需要时间的。

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